Каков радиус окружности, которая вписана в прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 13 см, если длина

Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся следующими свойствами прямоугольного треугольника и окружности, вписанной в него:

1. Биссекриса, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на две сегмента, пропорциональные прилежащим катетам.

2. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен произведению полупериметра треугольника на его площадь, деленное на полуплощадь треугольника.

Начнем с нахождения полупериметра треугольника. Полупериметр вычисляется по формуле \( p = \frac{a + b + c}{2} \), где a и b - длины катетов, а c - длина гипотенузы.

В нашем случае, гипотенуза треугольника равна 13 см, поэтому \( c = 13 \).

Так как треугольник прямоугольный, то катеты можно найти, используя теорему Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).

Так как \( c = 13 \), то имеем: \( a^2 + b^2 = 13^2 \).

Теперь найдем длины катетов.

Поскольку биссектриса, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на два сегмента, которые пропорциональны катетам, можно записать следующее соотношение: \( \frac{c}{a} = \frac{c}{b} \).

Подставляя значения \( c = 13 \), получаем: \( \frac{13}{a} = \frac{13}{b} \), из чего следует, что \( a = b \).

Таким образом, у нас есть система уравнений:
\[
\begin{cases}
a^2 + b^2 = 13^2 \\
a = b
\end{cases}
\].

Решая эту систему уравнений, получаем два решения: \( a = b = \frac{60}{\sqrt{2}} \) или \( a = b = -\frac{60}{\sqrt{2}} \). Отрицательное значение не имеет физического смысла в данном случае, поэтому выбираем положительное значение.

Таким образом, длины катетов равны \( a = b = \frac{60}{\sqrt{2}} \) см.

Теперь вычислим площадь треугольника. Площадь треугольника можно найти, используя формулу \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \).

Подставляя значения \( a = b = \frac{60}{\sqrt{2}} \), получаем: \( S = \frac{1}{2} \cdot \frac{60}{\sqrt{2}} \cdot \frac{60}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3600}{2} = 900 \) см².

Теперь мы можем вычислить радиус окружности, вписанной в треугольник. Радиус окружности равен произведению полупериметра треугольника на его площадь, деленное на полуплощадь треугольника.

Полуплощадь треугольника можно найти, используя формулу \( \frac{1}{2} \cdot p \), где \( p \) - полупериметр треугольника.

В нашем случае, \( p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{\frac{60}{\sqrt{2}} + \frac{60}{\sqrt{2}} + 13}{2} \).

Подставляя значения, получаем: \( p = \frac{60 + 60}{\sqrt{2}} + 13 = \frac{120}{\sqrt{2}} + 13 \).

Итак, радиус окружности равен:

\[
\begin{align*}
r & = \frac{p \cdot S}{\frac{1}{2} \cdot p} \\
& = \frac{\left(\frac{120}{\sqrt{2}} + 13\right) \cdot 900}{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{120}{\sqrt{2}} + 13\right)} \\
& = \frac{\left(\frac{120}{\sqrt{2}} + 13\right) \cdot 900}{\left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{120}{\sqrt{2}} + 13\right)} \\
& = \frac{900}{\frac{1}{2}} \\
& = 1800 \, \text{см}.
\end{align*}
\]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в данный прямоугольный треугольник, равен 1800 см.