Каков радиус луны, если она притягивает тело массой 1 кг с силой 1,7 Н при условии, что средняя плотность луны равна

Для решения данной задачи мы можем использовать закон Ньютона об универсальном гравитационном притяжении \(F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\), где \(F\) - сила притяжения между двумя телами, \(G\) - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы двух тел, а \(r\) - расстояние между ними.

В данном случае, дано, что тело массой 1 кг притягивается луной с силой 1,7 Н. Мы можем обозначить массу луны как \(M\) и радиус луны как \(R\).

Сила притяжения между телом и луной равна \(F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot M}}{{R^2}}\). Подставляя известные значения, получаем:

\[1,7 = \frac{{G \cdot 1 \cdot M}}{{R^2}}\]

Мы также знаем, что средняя плотность луны (\(\rho\)) равна \(3,5 \times 10^3 \, \text{кг/м}^3\). Плотность можно определить как отношение массы к объему: \(\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}\).

Теперь мы можем связать плотность луны и ее массу используя данное равенство. Мы можем переставить его и решить относительно \(M\):

\[M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3\]

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение для силы притяжения:

\[1,7 = \frac{{G \cdot 1 \cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}}{{R^2}}\]

Обратите внимание, что \(R\) сократится из обеих частей уравнения. Мы также можем подставить значение гравитационной постоянной \(G = 6,67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\). Теперь мы можем решить это уравнение и найти значение \(R\).

Добавим и объединим все множители в выражении:

\[1,7 = \frac{{6,67430 \times 10^{-11} \cdot 1 \cdot 3,5 \times 10^3 \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}}{{R^2}}\]

Упростим числовые значения и выражение:

\[1,7 = \frac{{8,89951 \times 10^{-7} \cdot \pi \cdot R^3}}{{R^2}}\]

Умножим \(R^2\) на обе стороны уравнения и перенесем все в одну часть:

\[1,7 \cdot R^2 = 8,89951 \times 10^{-7} \cdot \pi \cdot R^3\]

Теперь делим обе стороны на \(R^2\) и решаем это уравнение:

\[1,7 = 8,89951 \times 10^{-7} \cdot \pi \cdot R\]

Делим обе стороны на численное значение \((8,89951 \times 10^{-7} \cdot \pi)\):

\[\frac{{1,7}}{{8,89951 \times 10^{-7} \cdot \pi}} = R\]

Вычисляем значение отношения:

\[R \approx 6,1 \times 10^6 \, \text{м}\]

Таким образом, радиус луны составляет примерно \(6,1 \times 10^6 \, \text{м}\).