Каков радиус капли, получившейся после слияния 8 капель радиусом r (с объемами 27, 64 и 125)?

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать закономерности связанные с объёмом и радиусом капли.

В данной задаче мы имеем объёмы трёх капель: 27, 64 и 125. Объём капли можно выразить через радиус следующим образом:

\( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \)

Мы знаем, что объёмы слившихся капель должны быть равны сумме объёмов исходных 8 капель:

\( V_{\text{общий}} = V_1 + V_2 + V_3 + \ldots + V_8 \)

Для нашей задачи мы можем записать это следующим образом:

\( V_{\text{общий}} = 27 + 64 + 125 + \ldots + V_8 \)

Нам нужно найти радиус капли, получившейся после слияния. Обозначим его как \( R \).

Итак, давайте продолжим с вычислениями:

\( V_{\text{общий}} = \frac{4}{3} \pi r^3_1 + \frac{4}{3} \pi r^3_2 + \frac{4}{3} \pi r^3_3 + \ldots + \frac{4}{3} \pi r^3_8 \)

Мы знаем, что все исходные капли имеют радиус \( r \), поэтому мы можем записать это так:

\( V_{\text{общий}} = \frac{4}{3} \pi r^3 (1 + 1 + 1 + \ldots + 1) \)

В данном случае мы имеем восемь капель, поэтому сумма в скобках равна 8:

\( V_{\text{общий}} = \frac{4}{3} \pi r^3 \cdot 8 \)

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \( r \), чтобы найти радиус капли после слияния:

\( V_{\text{общий}} = \frac{4}{3} \pi R^3 \)

В нашей задаче \( V_{\text{общий}} = 27 + 64 + 125 \), поэтому мы можем записать:

\( 27 + 64 + 125 = \frac{4}{3} \pi R^3 \)

Теперь давайте найдем \( R \):

\( \frac{4}{3} \pi R^3 = 216 \)

Для нахождения \( R \) нужно избавиться от дроби:

\( \pi R^3 = \frac{3}{4} \cdot 216 \)

\( \pi R^3 = 162 \)

Для нахождения радиуса \( R \) нужно избавиться от \(\pi\), возведя все в степень:

\( R^3 = \frac{162}{\pi} \)

\( R = \sqrt[3]{\frac{162}{\pi}} \)

Таким образом, радиус капли после слияния 8 капель с радиусом \( r \) будет равен \( \sqrt[3]{\frac{162}{\pi}} \).