Каков радиус цилиндра r, вписанного в конус с образующей l = 8 см, если прямая, проходящая через центр верхнего

Для нахождения радиуса цилиндра \( r \), вписанного в конус, мы можем использовать геометрические свойства фигур.

По условию задачи, мы знаем, что прямая, проходящая через центр верхнего основания цилиндра и любую точку окружности основания конуса, образует угол в 45° с основанием конуса, а угол образующей конуса с высотой конуса равен 30°.

Мы можем использовать свойства подобных треугольников, чтобы найти соотношение между радиусом цилиндра \( r \) и образующей конуса \( l \).

Рассмотрим сечение конуса плоскостью, параллельной основанию конуса, находящуюся на высоте \( h \) от вершины конуса, где \( h \) - высота цилиндра. Это сечение будет кругом радиуса \( r \) (основание цилиндра).

Теперь рассмотрим треугольник, образованный образующей конуса \( l \), высотой конуса \( h \) и прямой, проходящей через центр верхнего основания цилиндра. Этот треугольник подобен треугольнику, образованному образующей конуса \( l \), высотой конуса \( h \) и радиусом цилиндра \( r \).

Таким образом, имеем следующее соотношение:
\(\frac{{r}}{{l}} = \frac{{r + h}}{{h}}\)

Теперь преобразуем это уравнение для нахождения радиуса цилиндра \( r \).

\(\frac{{r}}{{8}} = \frac{{r + h}}{{h}}\)

Выразим \( h \) через радиус цилиндра \( r \):
\(h = \frac{{8r}}{{r - 1}}\)

Обратите внимание, что мы используем тот факт, что образующая конуса \( l \) равна 8 см.

Теперь мы можем использовать информацию об угле между образующей конуса и высотой конуса.

Так как угол между образующей конуса и высотой конуса равен 30°, мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты конуса \( h \).

Из определения тангенса угла:
\(\tan(30^\circ) = \frac{{h}}{{l}}\)

Подставим значение \( h \), которое мы нашли ранее:
\(\tan(30^\circ) = \frac{{\frac{{8r}}{{r - 1}}}}{{8}}\)

Решим это уравнение, чтобы найти значение радиуса цилиндра \( r \).

\(\frac{{\frac{{8r}}{{r - 1}}}}{{8}} = \tan(30^\circ)\)

\(\frac{{8r}}{{r - 1}} = \tan(30^\circ) \times 8\)

\(\frac{{8r}}{{r - 1}} = \frac{{1}}{{\sqrt{3}}} \times 8\)

\(\frac{{8r}}{{r - 1}} = \frac{{8}}{{\sqrt{3}}}\)

Умножим обе части уравнения на \((r - 1)\), чтобы избавиться от дроби:
\(8r = \frac{{8}}{{\sqrt{3}}} \times (r - 1)\)

Распространим умножение справа:
\(8r = \frac{{8}}{{\sqrt{3}}} \times r - \frac{{8}}{{\sqrt{3}}}\)

Выразим \( r \) через числовые значения:
\(8r - \frac{{8}}{{\sqrt{3}}}\times r = \frac{{8}}{{\sqrt{3}}}\)

Факторизуем \( r \) слева:
\(r (8 - \frac{{8}}{{\sqrt{3}}}) = \frac{{8}}{{\sqrt{3}}}\)

Упростим числовое значение в скобках:
\(r (\frac{{8\sqrt{3} - 8}}{{\sqrt{3}}}) = \frac{{8}}{{\sqrt{3}}}\)

Домножим обе части уравнения на \(\frac{{\sqrt{3}}}}{{8\sqrt{3} - 8}}\), чтобы избавиться от дроби:
\(r = \frac{{8}}{{\sqrt{3}}}\times \frac{{\sqrt{3}}}}{{8\sqrt{3} - 8}}\)

Распространим умножение в числителе:
\(r = \frac{{8}}{{8\sqrt{3} - 8}}\)

Упростим числитель:
\(r = \frac{{1}}{{\sqrt{3} - 1}}\)

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим и числитель и знаменатель на сопряженное выражение \((\sqrt{3} + 1)\):
\(r = \frac{{1}}{{\sqrt{3} - 1}} \times \frac{{\sqrt{3} + 1}}{{\sqrt{3} + 1}}\)

Распространим умножение:
\(r = \frac{{\sqrt{3} + 1}}{{3 - 1}}\)

Упростим числитель:
\(r = \frac{{\sqrt{3} + 1}}{{2}}\)

Таким образом, радиус цилиндра \( r \) равен \(\frac{{\sqrt{3} + 1}}{{2}}\) с точностью до сотых.