Каков радиус большего основания усеченного конуса, если его образующая равна 2 см, наклонена к плоскости основания

Пусть \(r\) - радиус большего основания усеченного конуса.

Для начала, давайте введем некоторые обозначения. Пусть \(R\) - радиус большего основания, \(r\) - радиус меньшего основания и \(l\) - образующая конуса.

У нас есть информация, что образующая конуса равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов. Это означает, что мы можем применить теорему косинусов для нахождения радиуса большего основания.

В данной задаче, мы можем использовать теорему косинусов для треугольника, составленного из образующей конуса (\(l\)), радиуса большего основания (\(R\)) и одного из ребер конуса:

\[l^2 = R^2 + r^2 - 2 \cdot R \cdot r \cdot \cos{\alpha},\]

где \(\alpha\) - угол между образующей конуса и ребром.

Мы знаем, что образующая равна 2 см и угол наклона равен 60 градусам, поэтому мы можем заменить значения в формуле:

\[2^2 = R^2 + r^2 - 2 \cdot R \cdot r \cdot \cos{60^\circ}.\]

Теперь мы можем упростить это уравнение и решить его относительно \(R\):

\[4 = R^2 + r^2 - R \cdot r.\]

Так как нам нужно найти радиус большего основания, мы можем использовать другое уравнение, связанное с радиусами большего и меньшего оснований:

\[R = r + h,\]

где \(h\) - высота усеченного конуса.

Мы знаем, что усеченный конус является правильным, то есть его боковая поверхность - равносторонний треугольник (так как образующая наклонена под углом 60 градусов к плоскости основания). Для равностороннего треугольника, высота \(h\) связана с стороной \(r\) следующим образом:

\[h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot r.\]

Теперь мы можем подставить это значение в уравнение \(R = r + h\):

\[R = r + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot r.\]

Упростим:

\[R = \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot r.\]

Из предыдущего уравнения \(4 = R^2 + r^2 - R \cdot r\) мы можем выразить \(R\) через \(r\):

\[4 = \left[\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot r\right]^2 + r^2 - \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot r \cdot r.\]

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно \(r\). Для этого растаскиваем скобки и упрощаем выражение:

\[4 = \left(1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4}\right) \cdot r^2 - \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot r \cdot r.\]

\[4 = \left(\frac{7}{4} + \sqrt{3}\right) \cdot r^2 - \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot r \cdot r.\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение для \(r\). Мы можем решить его, используя квадратное уравнение общего вида:

\[a \cdot r^2 + b \cdot r + c = 0.\]

Соответствующие значения для нашего уравнения равны:

\[a = \left(\frac{7}{4} + \sqrt{3}\right),\]
\[b = \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right),\]
\[c = -4.\]

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}.\]

Подставим значения:

\[r_{1,2} = \frac{-\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \pm \sqrt{\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 4 \cdot \left(\frac{7}{4} + \sqrt{3}\right) \cdot (-4)}}{2 \cdot \left(\frac{7}{4} + \sqrt{3}\right)}.\]

После выполнения всех вычислений, мы получим два значения для \(r\). Один из них будет отрицательным, исключим его, так как радиус не может быть отрицательным. Таким образом, мы получим значение \(r\), а затем можем вычислить радиус большего основания \(R\) с помощью уравнения \(R = r + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot r\).