Каков путь, который точка пройдет до остановки, если она движется по окружности радиусом R=2 согласно закону

Чтобы решить эту задачу, нам нужно определить путь, который пройдет точка до остановки на окружности радиусом R=2, исходя из данного закона движения φ=2+2t-t^2.

Давайте разберемся сначала, что означает физическая величина \(\varphi\) в данном контексте. В данном случае, \(\varphi\) представляет собой угол, пройденный точкой на окружности от начальной позиции до текущей позиции.

У нас есть закон движения \(\varphi = 2 + 2t - t^2\), где t - это время движения точки. Подставим начальное значение времени t=0 в это уравнение, чтобы найти начальное положение точки на окружности:

\(\varphi_0 = 2 + 2 \cdot 0 - 0^2 = 2\)

Теперь, для нахождения времени t, когда точка останавливается, мы должны найти значение \(\varphi\), когда скорость \(\frac{d\varphi}{dt}\) равна нулю.

Для этого возьмем первую производную от нашего уравнения по времени:

\(\frac{d\varphi}{dt} = 2 - 2t\)

Теперь приравняем ее к нулю и найдем значение времени, когда скорость равна нулю:

\(2 - 2t = 0\)

\(t = 1\)

Таким образом, точка остановится через 1 единицу времени.

Теперь у нас есть начальное положение точки \(\varphi_0 = 2\) и время, через которое точка останавливается \(t = 1\). Чтобы найти путь, который пройдет точка до остановки, мы можем использовать формулу для длины дуги окружности:

\(S = R \cdot \Delta\varphi\)

где \(S\) - путь, \(R\) - радиус окружности и \(\Delta\varphi\) - изменение угла \(\varphi\).

Чтобы найти \(\Delta\varphi\), вычтем начальное положение \(\varphi_0\) из значения \(\varphi\) при остановке:

\(\Delta\varphi = \varphi - \varphi_0 = (2 + 2 \cdot 1 - 1^2) - 2 = 3 - 2 = 1\)

Теперь мы можем вычислить путь, который пройдет точка до остановки:

\(S = R \cdot \Delta\varphi = 2 \cdot 1 = 2\)

Таким образом, точка пройдет путь равный 2 по окружности до остановки.