Каков путь, который пройдет точка от начала движения до остановки, если ее скорость задана уравнением v = t^2 - 5t

Для решения этой задачи нам необходимо вычислить путь, пройденный точкой, когда ее скорость задана уравнением \(v = t^2 - 5t\), где \(v\) - скорость, \(t\) - время.

Шаг 1: Найдем функцию \(s(t)\), описывающую путь точки в зависимости от времени. Для этого интегрируем полученное уравнение скорости по времени:

\[
s(t) = \int v \, dt = \int (t^2 - 5t) \, dt
\]

Проинтегрируем по каждому слагаемому по очереди:

\[
s(t) = \int t^2 \, dt - \int 5t \, dt = \frac{1}{3}t^3 - \frac{5}{2}t^2 + C
\]

где \(C\) - постоянная интегрирования.

Шаг 2: Теперь, когда у нас есть функция \(s(t)\), мы можем найти путь, пройденный точкой от начала движения до остановки. Для этого мы должны вычислить \(s(t_{\text{стоп}}) - s(t_0)\), где \(t_{\text{стоп}}\) - время остановки, а \(t_0\) - начальное время движения.

В нашем случае точка останавливается, когда \(v(t_{\text{стоп}}) = 0\). Найдем это время:

\[
t^2_{\text{стоп}} - 5t_{\text{стоп}} = 0
\]

\[
t_{\text{стоп}}(t_{\text{стоп}} - 5) = 0
\]

Отсюда видно, что два значения \(t_{\text{стоп}}\) могут удовлетворять уравнению: \(t_{\text{стоп}} = 0\) и \(t_{\text{стоп}} = 5\). Однако нам интересует только положительное время остановки, поэтому \(t_{\text{стоп}} = 5\).

Шаг 3: Теперь мы можем найти путь, проходимый точкой, используя найденные значения \(t_{\text{стоп}}\) и \(t_0\):

\[
\text{путь} = s(t_{\text{стоп}}) - s(t_0) = \left(\frac{1}{3} \cdot 5^3 - \frac{5}{2} \cdot 5^2 + C\right) - \left(\frac{1}{3} \cdot t_0^3 - \frac{5}{2} \cdot t_0^2 + C\right)
\]

\[
= \frac{1}{3} \cdot (5^3 - t_0^3) - \frac{5}{2} \cdot (5^2 - t_0^2)
\]

Поэтому, чтобы получить максимально подробный ответ, вам нужно знать начальное время движения \(t_0\), чтобы вычислить конечный результат.