Каков показатель адиабаты газа, если ему было сообщено 10 кДж теплоты для изобарического нагревания от температуры

Чтобы найти показатель адиабаты газа, нам понадобится использовать уравнение адиабатического процесса:

\[PV^{\gamma} = \text{const}\]

где P - давление газа, V - его объем, а \( \gamma \) - искомый показатель адиабаты.

В данной задаче газ изобарически нагревается, что означает, что давление газа будет постоянным во время процесса нагревания. Таким образом, уравнение адиабатического процесса может быть записано следующим образом:

\[P_1V_1^{\gamma} = P_2V_2^{\gamma}\]

где P1 и P2 - давления газа на начальной и конечной стадиях соответственно, V1 и V2 - объемы газа на начальной и конечной стадиях.

Однако, для решения задачи, нам необходимо использовать дополнительную информацию о теплоте, сообщенной газу в процессе нагревания. Мы можем использовать закон сохранения энергии:

\[Q = \Delta U + W\]

где Q - теплота, сообщенная газу, \(\Delta U\) - изменение внутренней энергии газа, W - работа, совершенная газом.

Так как газ является идеальным, изменение внутренней энергии газа для изобарического процесса может быть выражено следующим образом:

\(\Delta U = nC_v\Delta T\)

где n - количество вещества газа, \(C_v\) - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, \(\Delta T\) - изменение температуры газа.

Используя выражение для работы, совершенной газом, \(W = P\Delta V\), и связь между объемами газа \(V_1\) и \(V_2\) с их соответствующими температурами \(T_1\) и \(T_2\) \(V_1/T_1 = V_2/T_2\), мы можем переписать выражение для изменения внутренней энергии как:

\(\Delta U = nC_v(T_2 - T_1)\)

Теперь мы можем записать уравнение сохранения энергии в терминах показателя адиабаты:

\(Q = \Delta U + W = nC_v(T_2-T_1) + P(V_2-V_1)\)

Обратите внимание, что после раскрытия скобок, \(V_2 - V_1\) упрощается до \(V_1(T_2/T_1-1)\).

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение адиабатического процесса:

\(P_1V_1^{\gamma} = P_2V_2^{\gamma}\)

В данном случае, начальное состояние (1) газа характеризуется давлением \(P_1\), температурой \(T_1\) и объемом \(V_1\), а конечное состояние (2) газа характеризуется давлением \(P_2\), температурой \(T_2\) и объемом \(V_2\).

Подставляя соответствующие выражения в это уравнение и приводя его к более удобному виду, получаем:

\(P_1V_1^{\gamma} = P_2V_2^{\gamma}\)

\(P_1(V_1/T_1)\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\gamma} = P_2(V_1(T_2/T_1-1))^{\gamma}\)

\(P_1\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\gamma -1} = P_2(T_2/T_1-1)^{\gamma}\)

Используя объемную связь \(V_1/T_1 = V_2/T_2\), мы можем переписать последнее выражение так:

\(P_1\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\gamma -1} = P_2(V_1/T_1(T_2/T_1-1))^{\gamma}\)

Из этих двух выражений мы можем получить уравнение для показателя адиабаты:

\(\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\gamma -1} = (V_1/T_1(T_2/T_1-1))^{\gamma}\)

Теперь мы можем подставить числовые значения в задаче (\(T_1 = 100 \, К\), \(T_2 = 200 \, К\)) и решить уравнение относительно \(\gamma\). В данном случае, газ считается идеальным, поэтому показатель адиабаты \(\gamma\) равен \(C_p/C_v\), где \(C_p\) и \(C_v\) - удельные теплоемкости газа при постоянном давлении и постоянном объеме соответственно.

Обратите внимание, что решение этого уравнения может быть достаточно сложным аналитически, поскольку неизвестное \(\gamma\) появляется как показатель в выражении. Однако, мы можем использовать численные методы или программное обеспечение для нахождения его приближенных значений. Это может быть приемлемым подходом в данном случае, чтобы получить числовое значение показателя адиабаты газа.