Каков плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды, если апофема равна стороне основания?

Представим, что у нас есть правильная треугольная пирамида, у которой апофема равна стороне основания. Для начала, давайте определим некоторые основные понятия, чтобы проще было разобраться в задаче.

Апофемой пирамиды называется отрезок, проведенный из вершины пирамиды до середины основания и перпендикулярный ему. Стороной основания называется любая из сторон, образующих основание пирамиды.

Теперь мы можем перейти к решению этой задачи. Для начала, давайте рассмотрим плоский угол при вершине пирамиды. Для этого нужно построить плоскость, проходящую через вершину пирамиды и перпендикулярную к основанию.

Так как у нас правильная треугольная пирамида, мы знаем, что все грани пирамиды являются равносторонними треугольниками. Это означает, что все углы в каждом треугольнике равны 60 градусам.

Теперь давайте рассмотрим треугольник, образованный стороной основания, апофемой и половиной стороны основания. Обозначим этот треугольник как ABC, где А - середина стороны основания, В - вершина пирамиды, C - середина апофемы.

Так как у нас равносторонний треугольник, длина каждой стороны равна другой. Пусть сторона основания равна a, а апофема равна a. Тогда половина стороны основания будет равна a/2.

Так как у нас треугольник ABC равносторонний, все его углы равны 60 градусам. Пусть D - середина стороны BC, тогда угол ADB будет равен 90 градусам, так как BD проведена через середину стороны и является высотой треугольника.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник ADB. У нас есть известные углы - 60 и 90 градусов, а также известная длина стороны AD, которая равна апофеме a. Мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти длину стороны AB.

Так как у нас есть прямоугольный треугольник ADB, мы можем использовать тангенс угла ADB для нахождения длины стороны AB:

\(\tan(\angle ADB) = \frac{{AD}}{{AB}}\)

Мы знаем, что \(\angle ADB = 60^\circ\) и AD = a, поэтому мы можем подставить эти значения и решить уравнение:

\(\tan(60^\circ) = \frac{{a}}{{AB}}\)

\(\sqrt{3} = \frac{{a}}{{AB}}\)

\(\frac{{a}}{{AB}} = \frac{{1}}{{\sqrt{3}}} \)

Перекрестным умножением мы получаем:

\(AB = \frac{{a}}{{\frac{{1}}{{\sqrt{3}}}}} = \frac{{a \cdot \sqrt{3}}}{{1}} = a \cdot \sqrt{3}\)

Таким образом, мы нашли длину стороны AB. Теперь мы можем найти плоский угол при вершине пирамиды, рассматривая треугольник ADB.

В треугольнике ADB, сумма углов должна быть равна 180 градусам. Мы уже знаем углы 60 и 90 градусов, поэтому мы можем найти угол BDA.

\(180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ\)

Таким образом, плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды, если апофема равна стороне основания, составляет 30 градусов.