1) Какова площадь сечения шара этой плоскостью, если радиус шара равен 8 см и плоскость проходит через конец радиуса

Задача 1:
Для решения этой задачи, нам необходимо вычислить площадь сечения шара плоскостью, проходящей через конец радиуса, лежащего на сфере, под углом 45° к радиусу.

Первым шагом рассмотрим данную плоскость и радиус, проводимый через ее конец. Так как плоскость проходит через конец радиуса, то она будет вертикальной и перпендикулярной к этому радиусу.

Поскольку угол между радиусом и плоскостью составляет 45°, мы получаем прямоугольный треугольник ABC, где AB - радиус шара, BC - проведенный радиус и AC - искомая площадь сечения шара.

Так как треугольник ABC прямоугольный, мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения длин сторон треугольника:

\(\sin 45^\circ = \frac{BC}{AB}\)

Подставляя известные значения, получим:

\(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{BC}{8 \, \text{см}}\)

Производя простые алгебраические преобразования, мы найдем значение BC:

\(BC = 8 \, \text{см} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 8 \, \text{см} \div \sqrt{2} = 8 \, \text{см} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2} \, \text{см}\)

Теперь, чтобы найти площадь сечения шара, мы должны найти площадь треугольника ABC. Это можно сделать с использованием формулы для площади прямоугольного треугольника:

\(S = \frac{1}{2} \times BC \times AC\)

Подставляя известные значения, получим:

\(S = \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{2} \, \text{см} \times 8 \, \text{см} = 16 \sqrt{2} \, \text{см}^2\)

Таким образом, площадь сечения шара этой плоскостью равна \(16 \sqrt{2} \, \text{см}^2\).

Задача 2:
Для решения этой задачи, нам необходимо найти площадь осевого сечения цилиндра, внутри которого вписан куб со стороной "а".

Поскольку вписанный куб имеет сторону "а", его диагональ будет равна диагонали грани куба, что равно \(a \sqrt{2}\).

Площадь осевого сечения цилиндра совпадает с площадью основания куба, то есть квадратом стороны куба:

\(S = a^2\)

Таким образом, площадь осевого сечения цилиндра равна \(a^2\).