Каков первый член геометрической прогрессии, если сумма первых четырех членов равна -48, четвертый член равен -32,4

Чтобы решить эту задачу, мы должны использовать формулы для суммы и общего члена геометрической прогрессии.

Формула для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:
\[S_n = a \cdot \frac{{1 - r^n}}{{1 - r}}\]
где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(n\) - количество членов прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии.

Формула для \(n\)-го члена размножения:
\[a_n = a \cdot r^{n-1}\]
где \(a_n\) - \(n\)-й член прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии.

Мы знаем, что сумма первых четырех членов равна -48:
\[S_4 = -48\]

Мы также знаем, что четвертый член прогрессии равен -32.4, поэтому:
\[a_4 = -32.4\]

Более того, из формулы для \(n\)-го члена прогрессии, мы знаем, что:
\[a_4 = a \cdot r^{4-1} = a \cdot r^3\]

Теперь мы можем составить систему уравнений:
\[\begin{cases} S_4 = a \cdot \frac{{1 - r^4}}{{1 - r}} = -48 \\ a \cdot r^3 = -32.4 \end{cases}\]

Чтобы решить эту систему уравнений, нужно сначала найти \(r\) из второго уравнения. Для этого делим оба выражения на \(a\):
\[\frac{{S_4}}{{a}} = \frac{{1 - r^4}}{{1 - r}} = -48\]
\[r^3 = \frac{{-32.4}}{{a}}\]

Заметим, что здесь мы можем упростить уравнение, так как нам дано значение \(a_4\) и \(r^3\). Подставим эти значения:
\[-32.4 = \frac{{-32.4}}{{a}}\]
Отсюда следует, что \(a = -1\).

Теперь возвращаемся к системе уравнений:
\[\frac{{1 - r^4}}{{1 - r}} = -48\]
\[r^3 = \frac{{-32.4}}{{-1}} = 32.4\]

Мы знаем, что \(a = -1\), поэтому \(a \cdot r^3 = -1 \cdot 32.4 = -32.4\). Таким образом, получаем:
\[\frac{{1 - r^4}}{{1 - r}} = -48 \Rightarrow -33.4 = -48 \Rightarrow r^4 - r + 15 = 0\]

Для решения этого уравнения, мы можем попробовать применить различные числа в качестве начального значения \(r\) и найти возможные значения, удовлетворяющие уравнению. Путем проб и ошибок мы можем найти \(r = 1\) - это единственное значение, которое удовлетворяет уравнению.

Используя \(r = 1\) и \(a = -1\), подставим в формулу для общего члена прогрессии.
\[a_n = a \cdot r^{n-1} = -1 \cdot 1^{n-1} = -1\]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен -1.