Каков период обращения спутника Земли, если его орбита имеет радиус, равный радиусу Земли?

Перед тем, как мы перейдем к решению этой задачи, давайте вспомним основные понятия, связанные с круговым движением тел.

Период обращения тела вокруг другого тела - это время, за которое оно совершает один полный оборот. В данной задаче у нас есть спутник Земли, который движется по орбите с радиусом, равным радиусу Земли. Здесь является ключевым знание того, что орбиты спутников обычно являются кругами или близкими кругам.

Теперь перейдем к решению задачи. Для начала определимся с единицами измерения, в которых будем работать. Давайте будем работать в Международной системе единиц (СИ). Пусть радиус Земли \(R\) будет равным 6371 километру (км).

Согласно закону всемирного тяготения Ньютона, центростремительная сила, действующая на спутник, обеспечивает его круговое движение и равна силе притяжения между спутником и Землей:

\[F = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}}\]

где \(F\) - центростремительная сила, \(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/\text{кг}\cdot\text{с}^2\)), \(M\) - масса Земли (\(5.97219 \times 10^{24}\, \text{кг}\)), \(m\) - масса спутника, \(r\) - радиус орбиты спутника.

Центростремительная сила также может быть рассчитана через массу спутника и его ускорение, связанное с круговым движением:

\[F = m \cdot a\]

Здесь ускорение \(a\) можно выразить через радиус орбиты и период обращения \(T\) спутника:

\[a = \frac{{4\pi^2 \cdot r}}{{T^2}}\]

Сопоставляя два значения центростремительной силы, мы получаем:

\[m \cdot a = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}}\]

Теперь можно сократить массу спутника \(m\) с обеих частей уравнения и переписать уравнение, оставшееся без массы спутника:

\[a = \frac{{G \cdot M}}{{r^2}}\]

\[a = \frac{{4\pi^2 \cdot r}}{{T^2}}\]

Подставляя второе уравнение в первое, получаем:

\[\frac{{4\pi^2 \cdot r}}{{T^2}} = \frac{{G \cdot M}}{{r^2}}\]

Теперь осталось решить это уравнение относительно периода обращения \(T\):

\[\frac{{4\pi^2 \cdot r}}{{T^2}} = \frac{{G \cdot M}}{{r^2}}\]

Умножим обе части уравнения на \(T^2\) и разделим обе части на \(4\pi^2\) :

\[r = \frac{{G \cdot M \cdot T^2}}{{4\pi^2}}\]

Теперь выразим период обращения \(T\):

\[T^2 = \frac{{4\pi^2 \cdot r^3}}{{G \cdot M}}\]

\[T = \sqrt{\frac{{4\pi^2 \cdot r^3}}{{G \cdot M}}}\]

Подставим значение радиуса \(r = 6371\) км, значение гравитационной постоянной \(G = 6.67430 \times 10^{-11}\) \(\text{м}^3/\text{кг}\cdot\text{с}^2\), и значение массы Земли \(M = 5.97219 \times 10^{24}\) кг в формулу:

\[T = \sqrt{\frac{{4\pi^2 \cdot (6371)^3}}{{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 5.97219 \times 10^{24}}}}\]

Подставив это в калькулятор, получаем:

\[T \approx 5066.635\] секунд

Таким образом, период обращения спутника Земли, если его орбита имеет радиус, равный радиусу Земли, составляет примерно 5066.635 секунд.