Каков период механических колебаний груза массой 250 г на пружине с жесткостью 0.8 кН/м? Какова собственная циклическая

Период колебаний груза на пружине можно найти, используя закон Гука для пружин и уравнение колебательного движения механической системы.

Закон Гука для пружин говорит, что сила, действующая на пружину, пропорциональна изменению её длины:

\[ F = -kx \]

где F - сила, k - коэффициент жесткости пружины, x - изменение длины пружины.

Уравнение колебательного движения для системы, состоящей из груза на пружине, выглядит следующим образом:

\[ m \cdot \frac{{d^2 x}}{{dt^2}} + kx = 0 \]

где m - масса груза, x - перемещение груза от положения равновесия, t - время.

Мы можем выразить вторую производную перемещения, используя уравнение колебательного движения:

\[ \frac{{d^2 x}}{{dt^2}} = - \frac{{k}}{{m}}x \]

Теперь у нас есть дифференциальное уравнение, описывающее колебательное движение. Решением этого уравнения является гармоническая функция:

\[ x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi) \]

Где A - амплитуда колебаний, \(\omega\) (омега) - ангулярная частота колебаний, \(\phi\) (фи) - начальная фаза колебаний.

Для нашей задачи нам необходимо узнать период механических колебаний груза и собственную циклическую частоту. Период можно выразить через ангулярную частоту:

\[ T = \frac{{2\pi}}{{\omega}} \]

Ангулярная частота, в свою очередь, зависит от жесткости пружины и массы груза:

\[ \omega = \sqrt{\frac{{k}}{{m}}} \]

Теперь мы можем решить задачу, подставив известные значения:

Масса груза, \(m = 250\) г (0.25 кг)
Жесткость пружины, \(k = 0.8\) кН/м (800 Н/м)

Первым шагом найдем ангулярную частоту:

\[ \omega = \sqrt{\frac{{k}}{{m}}} = \sqrt{\frac{{800}}{{0.25}}} \approx 40 \, \text{рад/с} \]

Далее, используя ангулярную частоту, можем вычислить период колебаний:

\[ T = \frac{{2\pi}}{{\omega}} = \frac{{2\pi}}{{40}} \approx 0.16 \, \text{с} \]

Таким образом, период механических колебаний груза составляет около 0.16 секунд, а собственная циклическая частота этих колебаний равна примерно 40 радиан в секунду.