Каков период и частота колебаний гармонического осциллятора, если его смещение задается формулой x=2,4*cos(5Пt/4+П/6

Для решения этой задачи посмотрим на формулу смещения гармонического осциллятора:

\[ x = A \cdot \cos(\omega t + \phi) \]

где:
- \( x \) - смещение осциллятора,
- \( A \) - амплитуда колебаний (в данном случае \( A = 2.4 \)),
- \( \omega \) - угловая частота колебаний,
- \( t \) - время,
- \( \phi \) - начальная фаза колебаний.

Для нашего случая угловую частоту можно выразить из формулы по сравнению с заданным смещением:

\[ \omega = \frac{5\pi}{4} \]

Частоту (f) можно выразить через угловую частоту (ω) следующим образом:

\[ f = \frac{\omega}{2\pi} \]

Так как период (T) является обратной величиной для частоты (T = \(\frac{1}{f}\)), то он также может быть вычислен:

\[ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{\frac{\omega}{2\pi}} = \frac{2\pi}{\omega} \]

Теперь, чтобы определить смещение и скорость осциллятора в момент времени \( t = 0 \), подставим значение \( t \) в формулу смещения x:

\[ x_0 = 2.4 \cdot \cos\left(\frac{5\pi \cdot 0}{4} + \frac{\pi}{6}\right) = 2.4 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \]

Теперь давайте вычислим это численно:

\[ x_0 = 2.4 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \approx 2.189 \, \text{м} \]

Скорость (v) осциллятора в момент времени \( t = 0 \) может быть найдена, взяв производную от формулы смещения по времени \( t \):

\[ v_0 = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t + \phi) \]

Подставляем значения и вычисляем:

\[ v_0 = -2.4\frac{5\pi}{4}\sin\left(\frac{5\pi \cdot 0}{4} + \frac{\pi}{6}\right) = -2.4\frac{5\pi}{4}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \]

Теперь давайте вычислим это численно:

\[ v_0 = -2.4\frac{5\pi}{4}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \approx -2.094 \, \text{м/c} \]

Чтобы найти скорость и ускорение в момент времени \( t = 1 \) секунда, мы можем использовать те же формулы:

\[ x_1 = 2.4 \cdot \cos\left(\frac{5\pi \cdot 1}{4} + \frac{\pi}{6}\right) \]

\[ v_1 = -2.4\frac{5\pi}{4}\sin\left(\frac{5\pi \cdot 1}{4} + \frac{\pi}{6}\right) \]

\[ a_1 = -2.4\frac{25\pi^2}{16}\cos\left(\frac{5\pi \cdot 1}{4} + \frac{\pi}{6}\right) \]

Давайте вычислим их численно:

\[ x_1 = 2.4 \cdot \cos\left(\frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) \approx 1.41 \, \text{м} \]

\[ v_1 = -2.4\frac{5\pi}{4}\sin\left(\frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) \approx -3.36 \, \text{м/c} \]

\[ a_1 = -2.4\frac{25\pi^2}{16}\cos\left(\frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) \approx 7.01 \, \text{м/c}^2 \]

Итак, период колебаний равен \( T \approx \frac{2\pi}{\omega} \approx \frac{2\pi}{\frac{5\pi}{4}} \approx \frac{8}{5} \, \text{с} \), частота колебаний равна \( f = \frac{1}{T} \approx \frac{5}{8} \, \text{Гц} \).

Смещение в момент времени \( t = 0 \) равно \( x_0 \approx 2.189 \, \text{м} \), скорость в момент времени \( t = 0 \) равна \( v_0 \approx -2.094 \, \text{м/c} \).

Скорость в момент времени \( t = 1 \) секунда равна \( v_1 \approx -3.36 \, \text{м/c} \), ускорение в момент времени \( t = 1 \) секунда равно \( a_1 \approx 7.01 \, \text{м/c}^2 \).