Каков периметр вравнобедренной трапеции ABCD, описанной около окружности, если известно, что высота BK равна 4√10

Чтобы найти периметр в равнобедренной трапеции ABCD, описанной около окружности, мы должны определить длины всех сторон трапеции. Давайте начнем с рисунка, чтобы лучше понять геометрию задачи.

\[ Здесь нужно нарисовать схему трапеции ABCD и отметить основания, высоту и другие известные параметры \]

В данной задаче нам известно, что высота BK равна \(4\sqrt{10}\). Это дает нам несколько полезных сведений о трапеции.

Давайте обозначим большее основание трапеции как \(AD\) и его длину обозначим как \(x\). Поскольку большее основание делится в отношении 3:7, мы можем сказать, что \(BD = \frac{7}{3}x\). Мы также знаем, что меньшее основание \(AB\) равно \(BD\) (по определению равнобедренности трапеции).

Чтобы найти периметр трапеции, мы должны вычислить длины всех сторон. Давайте начнем с меньшего основания \(AB\).

Мы знаем, что \(AB = BD\), поэтому \(AB = \frac{7}{3}x\).

Также известно, что радиус окружности равен половине диагонали большего основания \(BD\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BDC\), в котором \(BC\) - это радиус окружности, а \(BD\) и \(CD\) - это катеты.

Мы также знаем, что высота треугольника \(BK\) равна \(4\sqrt{10}\). Это означает, что площадь треугольника \(BDC\) можно вычислить двумя способами: через высоту и базу BK, и через катеты BD и CD (так как BC - гипотенуза прямоугольного треугольника).

\[
\text{Площадь треугольника } BDC = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CD
\]

Заметим, что \(BD = \frac{7}{3}x\) и \(BK = 4\sqrt{10}\), поэтому мы можем записать:

\[
\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{3}x \cdot 4\sqrt{10} = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{3}x \cdot CD
\]

Упростив это уравнение, мы находим:

\[
4\sqrt{10} = CD
\]

Теперь мы можем найти длины двух боковых сторон трапеции. Мы знаем, что боковые стороны трапеции равны радиусу описанной окружности, поэтому:

\(AB = CD = 4\sqrt{10}\).

Теперь нам осталось найти длину большего основания \(AD\). Мы знаем, что \(AB = BD\), поэтому:

\(x = \frac{7}{3}x + 4\sqrt{10}\).

Решая это уравнение, мы находим:

\(\frac{5}{3}x = 4\sqrt{10}\).

Деля обе части на \(\frac{5}{3}\), мы получаем:

\(x = \frac{12}{5}\sqrt{10}\).

Теперь у нас есть все необходимые длины сторон трапеции.

Суммируя длины всех сторон, мы можем найти периметр:

\[
\text{Периметр } P = AB + AD + BC + CD
\]

Подставляя значения, мы получаем:

\[
P = 4\sqrt{10} + \frac{12}{5}\sqrt{10} + 4\sqrt{10} + 4\sqrt{10}
\]

Упрощая это выражение, мы находим:

\[
P = 12\sqrt{10} + \frac{12}{5}\sqrt{10} + 8\sqrt{10}
\]

К сожалению, нам не удается сложить коэффициенты при \(\sqrt{10}\) в рациональную дробь из-за того, что они находятся в разных частях периметра. Поэтому наш ответ будет:

\[
P = 20\sqrt{10} + \frac{12}{5}\sqrt{10}
\]

или, если мы объединим два члена:

\[
P = \frac{112}{5}\sqrt{10}
\]

Таким образом, периметр равнобедренной трапеции ABCD, описанной около окружности, составляет \(\frac{112}{5}\sqrt{10}\)