Каков периметр вогнутого многоугольника (гексаграммы), образованного короткими диагоналями правильного шестиугольника?

Для решения этой задачи, нам потребуется знание формулы для вычисления периметра вогнутого многоугольника, образованного короткими диагоналями правильного шестиугольника.

Каждая диагональ правильного шестиугольника разбивает его на 2 треугольника. Поскольку все стороны правильного шестиугольника равны между собой, то эти треугольники тоже равнобедренные.

У нас есть 6 таких равнобедренных треугольников. Пусть длина стороны правильного шестиугольника равна \( a \).

Рассмотрим один из этих равнобедренных треугольников. У него две равные стороны - это сторона шестиугольника \( a \) и диагональ \( d \). Мы хотим найти периметр вогнутого многоугольника, образованного этими диагоналями, так что нам нужно найти длину диагонали \( d \).

Мы можем применить теорему Пифагора для нахождения длины диагонали. Поскольку у нас равнобедренный треугольник, то в нем угол между основанием и высотой равен 90 градусов. Значит, диагональ \( d \) является гипотенузой треугольника.

Используя теорему Пифагора, получим:

\[ a^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + h^2 \]

где \( h \) - высота треугольника, а \( \frac{d}{2} \) - половина длины диагонали.

Для вычисления высоты \( h \), мы можем воспользоваться формулой для вычисления высоты равнобедренного треугольника:

\[ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}a^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a \]

Подставив значение высоты в первое уравнение, получим:

\[ a^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2 \]

Упростив это уравнение, мы можем найти длину диагонали \( d \):

\[ a^2 = \frac{d^2}{4} + \frac{3}{4}a^2 \]
\[ d^2 = a^2 + \frac{4}{3}a^2 = \frac{7}{3}a^2 \]
\[ d = \sqrt{\frac{7}{3}a^2} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}a = \frac{\sqrt{21}}{3}a \]

Таким образом, длина каждой диагонали составляет \( \frac{\sqrt{21}}{3} \) от длины стороны правильного шестиугольника.

Чтобы найти периметр вогнутого многоугольника, умножим длину диагонали на количество диагоналей.

Ответ: Периметр вогнутого многоугольника равен \( \frac{\sqrt{21}}{3} \) умноженное на 6 (количество диагоналей).