Каков периметр треугольника, в котором радиус окружности, вписанной в него, равен

Для решения данной задачи, нам необходимо знать свойства вписанной окружности в треугольник. Это поможет нам определить, как периметр треугольника связан с радиусом вписанной окружности.

Свойства вписанной окружности:
1. Центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника.
2. Радиус вписанной окружности является радиусом окружности, вписанной в треугольник.
3. Касательные, проведенные из вершин треугольника к точкам касания с вписанной окружностью, делят стороны треугольника напополам.

Теперь, когда мы знаем эти свойства, мы можем перейти к решению задачи. Пусть радиус вписанной окружности равен \(r\), а стороны треугольника равны \(a\), \(b\) и \(c\). Наша задача - найти периметр треугольника.

Исходя из свойства номер 3, сторона треугольника делится на две части: \(a = s_a + s_b\), \(b = s_b + s_c\) и \(c = s_c + s_a\), где \(s_a\), \(s_b\) и \(s_c\) - отрезки сторон треугольника.

Теперь мы можем записать формулу для периметра треугольника:
\[P = a + b + c = (s_a + s_b) + (s_b + s_c) + (s_c + s_a) = 2 \cdot (s_a + s_b + s_c)\]

Отсюда получаем:
\[P = 2 \cdot (s_a + s_b + s_c)\]

Затем, используя свойство номер 2, отметим, что радиус вписанной окружности связан с отрезками \(s_a\), \(s_b\), \(s_c\) следующим образом:
\(s_a = r \cdot \alpha_a\), \(s_b = r \cdot \alpha_b\) и \(s_c = r \cdot \alpha_c\), где \(\alpha_a\), \(\alpha_b\) и \(\alpha_c\) - углы треугольника.

Теперь мы можем выразить периметр треугольника через радиус вписанной окружности и углы треугольника:
\[P = 2 \cdot (s_a + s_b + s_c) = 2 \cdot (r \cdot \alpha_a + r \cdot \alpha_b + r \cdot \alpha_c)\]

Используя свойство номер 1, мы знаем, что у каждого треугольника есть биссектрисы, которые делят углы напополам. Поэтому сумма углов равна 180 градусам:
\(\alpha_a + \alpha_b + \alpha_c = 180^\circ\)

Возвращаясь к формуле для периметра треугольника, подставим выражение для суммы углов:
\[P = 2 \cdot (r \cdot \alpha_a + r \cdot \alpha_b + r \cdot \alpha_c) = 2 \cdot r \cdot (\alpha_a + \alpha_b + \alpha_c)\]

Используя равенство \(\alpha_a + \alpha_b + \alpha_c = 180^\circ\), можем дальше упростить:
\[P = 2 \cdot r \cdot 180^\circ = 360^\circ \cdot r\]

Таким образом, периметр треугольника равен \(360^\circ \cdot r\), где \(r\) - радиус вписанной окружности.

Мы рассмотрели шаги исходя из свойств вписанной окружности и свойств треугольника, чтобы получить ответ. Если у вас есть значение радиуса вписанной окружности, подставьте его в формулу \(360^\circ \cdot r\) для получения конечного значения периметра треугольника.