Каков периметр треугольника, в котором радиус окружности, вписанной в него, равен

Для решения данной задачи, нам необходимо знать свойства вписанной окружности в треугольник. Это поможет нам определить, как периметр треугольника связан с радиусом вписанной окружности.

Свойства вписанной окружности:
1. Центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника.
2. Радиус вписанной окружности является радиусом окружности, вписанной в треугольник.
3. Касательные, проведенные из вершин треугольника к точкам касания с вписанной окружностью, делят стороны треугольника напополам.

Теперь, когда мы знаем эти свойства, мы можем перейти к решению задачи. Пусть радиус вписанной окружности равен $r$, а стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Наша задача - найти периметр треугольника.

Исходя из свойства номер 3, сторона треугольника делится на две части: $a=s_a+s_b$, $b=s_b+s_c$ и $c=s_c+s_a$, где $s_a$, $s_b$ и $s_c$ - отрезки сторон треугольника.

Теперь мы можем записать формулу для периметра треугольника:
$$P=a+b+c=(s_a+s_b)+(s_b+s_c)+(s_c+s_a)=2\cdot (s_a+s_b+s_c)$$

Отсюда получаем:
$$P=2\cdot (s_a+s_b+s_c)$$

Затем, используя свойство номер 2, отметим, что радиус вписанной окружности связан с отрезками $s_a$, $s_b$, $s_c$ следующим образом:
$s_a=r\cdot {\alpha }_a$, $s_b=r\cdot {\alpha }_b$ и $s_c=r\cdot {\alpha }_c$, где ${\alpha }_a$, ${\alpha }_b$ и ${\alpha }_c$ - углы треугольника.

Теперь мы можем выразить периметр треугольника через радиус вписанной окружности и углы треугольника:
$$P=2\cdot (s_a+s_b+s_c)=2\cdot (r\cdot {\alpha }_a+r\cdot {\alpha }_b+r\cdot {\alpha }_c)$$

Используя свойство номер 1, мы знаем, что у каждого треугольника есть биссектрисы, которые делят углы напополам. Поэтому сумма углов равна 180 градусам:
${\alpha }_a+{\alpha }_b+{\alpha }_c={180}^{\circ }$

Возвращаясь к формуле для периметра треугольника, подставим выражение для суммы углов:
$$P=2\cdot (r\cdot {\alpha }_a+r\cdot {\alpha }_b+r\cdot {\alpha }_c)=2\cdot r\cdot ({\alpha }_a+{\alpha }_b+{\alpha }_c)$$

Используя равенство ${\alpha }_a+{\alpha }_b+{\alpha }_c={180}^{\circ }$, можем дальше упростить:
$$P=2\cdot r\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }\cdot r$$

Таким образом, периметр треугольника равен ${360}^{\circ }\cdot r$, где $r$ - радиус вписанной окружности.

Мы рассмотрели шаги исходя из свойств вписанной окружности и свойств треугольника, чтобы получить ответ. Если у вас есть значение радиуса вписанной окружности, подставьте его в формулу ${360}^{\circ }\cdot r$ для получения конечного значения периметра треугольника.