Каков периметр треугольника, если площадь квадрата, построенного на гипотенузе, составляет 25 квадратных единиц

Давайте решим эту задачу пошагово. Нам нужно найти периметр треугольника, имея информацию о площадях квадратов, построенных на его сторонах.

Пусть a и b - длины катетов треугольника, а c - длина гипотенузы. В задаче у нас есть два условия:

1. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, составляет 25 квадратных единиц: \(c^2 = 25\).
2. Разница площадей квадратов, построенных на катетах, равна 7 квадратным единицам: \(a^2 - b^2 = 7\).

Начнем с первого условия. Мы знаем, что \(c^2 = 25\). Что представляет из себя гипотенуза треугольника? По теореме Пифагора, гипотенуза равна квадратному корню из суммы квадратов катетов (\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)). То есть, у нас есть соотношение: \(\sqrt{a^2 + b^2} = 5\).

Теперь перейдем ко второму условию. Мы знаем, что \(a^2 - b^2 = 7\). Можно заметить, что эта формула является разностью квадратов, которую можно представить в виде произведения суммы и разности двух квадратов: \((a + b)(a - b) = 7\).

Теперь возьмем первую формулу и возводим ее в квадрат: \((\sqrt{a^2 + b^2})^2 = (5)^2\). Раскроем скобки слева: \(a^2 + b^2 = 25\). Получаем систему уравнений:

\[\begin{cases} a^2 + b^2 = 25 \\ (a + b)(a - b) = 7 \end{cases}\]

Решаем второе уравнение относительно a - b: \(a - b = \frac{7}{a + b}\).

Теперь воспользуемся методом подстановки, чтобы найти значения a и b. Подставляем \(a - b = \frac{7}{a + b}\) в первое уравнение \(a^2 + b^2 = 25\):

\[(a + b)\left(\frac{7}{a + b}\right) = 25\]

Упростим выражение:

\[7 = 25\]

Видим, что это неверное уравнение, значит, решения не существует.

Ответ: Условия задачи противоречивы, поэтому периметр треугольника не может быть найден.