Каков общий характер движения шариков 1 и 2, изображенных на рисунке, если они имеют одинаковые массы и движутся

Чтобы определить общий характер движения шариков 1 и 2, нам нужно проанализировать их движение по окружностям.

При движении по окружности шарик испытывает две силы: центробежную силу и силу натяжения нити. Центробежная сила направлена от центра окружности к самому шарику, а сила натяжения нити направлена по нити.

Для начала рассмотрим шарик 1. Он движется по окружности с нитью длиной r. Применяя второй закон Ньютона (F = ma), можем записать силу натяжения нити:

\[ T_1 = m \cdot a_1 \]

где T_1 - сила натяжения нити шарика 1, m - масса шарика 1, a_1 - центростремительное ускорение шарика 1.

Аналогично для шарика 2, который движется по окружности с нитью длиной 2r, сила натяжения нити записывается как:

\[ T_2 = m \cdot a_2 \]

где T_2 - сила натяжения нити шарика 2, m - масса шарика 2, a_2 - центростремительное ускорение шарика 2.

Теперь обратимся к геометрии задачи. Расстояние, пройденное по окружности, можно выразить через угловой путь и радиус окружности:
\[ s = r \cdot \theta \]

где s - расстояние по окружности, r - радиус окружности, \theta - угловой путь.

Применяя эту формулу к шарику 1 (с нитью длиной r) и шарику 2 (с нитью длиной 2r), можем записать:
\[ s_1 = r \cdot \theta_1 \]
\[ s_2 = 2r \cdot \theta_2 \]

где s_1 - расстояние, пройденное шариком 1, \theta_1 - угловой путь шарика 1, s_2 - расстояние, пройденное шариком 2, \theta_2 - угловой путь шарика 2.

Дифференцируя эти уравнения по времени, получаем выражения для скорости шариков:
\[ v_1 = r \cdot \omega_1 \]
\[ v_2 = 2r \cdot \omega_2 \]

где v_1 - скорость шарика 1, \omega_1 - угловая скорость шарика 1, v_2 - скорость шарика 2, \omega_2 - угловая скорость шарика 2.

Согласно основному закону динамики для вращательного движения (τ = Iα), где τ - момент силы, I - момент инерции, α - угловое ускорение, можем записать:
\[ T_1 \cdot r = I_1 \cdot \alpha_1 \]
\[ T_2 \cdot 2r = I_2 \cdot \alpha_2 \]

где I_1 и I_2 - моменты инерции шариков 1 и 2 соответственно, \alpha_1 и \alpha_2 - угловые ускорения шариков 1 и 2.

Теперь сравним выражения для силы натяжения нити и момента силы:
\[ T_1 = m \cdot a_1 = I_1 \cdot \alpha_1 \]
\[ T_2 = m \cdot a_2 = I_2 \cdot \alpha_2 \]

Выражая момент инерции через массу и радиус (I = \frac{1}{2} m r^2) и подставляя в уравнения, получаем:
\[ m \cdot a_1 = (\frac{1}{2} m r^2) \cdot \alpha_1 \]
\[ m \cdot a_2 = (\frac{1}{2} m (2r)^2) \cdot \alpha_2 \]

Упрощая эти уравнения, получаем:
\[ a_1 = \frac{r \cdot \alpha_1}{2} \]
\[ a_2 = \frac{r \cdot \alpha_2}{2} \]

Таким образом, мы видим, что центростремительные ускорения шариков 1 и 2 пропорциональны их угловым ускорениям. Это означает, что общим характером движения этих шариков будет однородное вращение вокруг своих осей. Шарики будут двигаться с одинаковой угловой скоростью, но шарик 2 будет обладать вдвое большей линейной скоростью (из-за двукратно большей длины нити), чем шарик 1.