Каков объем второго сосуда, если первый сосуд имеет объем 10 литров, а кран открыт и установлено термодинамическое

Для решения данной задачи нам понадобится использовать закон Гей-Люссака, который устанавливает, что при постоянном давлении отношение объемов газов и их абсолютных температур равно:

\[\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\]

Где \(V_1\) и \(V_2\) - объемы первого и второго сосудов соответственно, \(T_1\) и \(T_2\) - абсолютные температуры газов.

По условию задачи относительная влажность в первом сосуде составляет 40%. Это значит, что давление насыщенного водяного пара в первом сосуде равно давлению пара при данной температуре. Пусть это давление равно \(P_1\).

Относительная влажность во втором сосуде составляет 50%. Это значит, что давление насыщенного водяного пара во втором сосуде равно давлению пара при данной температуре. Пусть это давление равно \(P_2\).

Так как сосуды соединены и находятся в термодинамическом равновесии, то давление воздуха между ними одинаково и равно атмосферному давлению, которое мы обозначим \(P_0\).

Теперь можно записать следующие уравнения:

\[\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \quad (1)\]

\[P_1 + P_0 = P_2 + P_0 \quad (2)\]

Для удобства решения задачи воспользуемся связью относительной влажности с давлением насыщенного пара. Она задается уравнением Клапейрона-Клаузиуса:

\[P = P_0 \cdot e^{\left(\frac{-L}{R} \cdot \left(\frac{1}{T} - \frac{1}{T_0}\right)\right)}\]

Где \(P\) - давление насыщенного водяного пара, \(L\) - теплота парообразования, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - абсолютная температура, \(T_0\) - температура плавления льда, которую примем равной 273 К.

Применим уравнение Клапейрона-Клаузиуса к \(P_1\) и \(P_2\) чтобы выразить их через относительную влажность и абсолютную температуру:

\[P_1 = P_0 \cdot e^{\left(\frac{-L}{R} \cdot \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_0}\right)\right)}\]

\[P_2 = P_0 \cdot e^{\left(\frac{-L}{R} \cdot \left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_0}\right)\right)}\]

Разделим уравнение (2) на \(P_0\), а затем подставим значения \(P_1\) и \(P_2\):

\[\frac{P_1}{P_0} + 1 = \frac{P_2}{P_0} + 1\]

\[e^{\left(\frac{-L}{R} \cdot \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_0}\right)\right)} + 1 = e^{\left(\frac{-L}{R} \cdot \left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_0}\right)\right)} + 1\]

Одинаковые слагаемые (+1) мы можем сократить, оставив:

\[e^{\left(\frac{-L}{R} \cdot \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_0}\right)\right)} = e^{\left(\frac{-L}{R} \cdot \left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_0}\right)\right)}\]

Чтобы равенство выполнялось, нужно, чтобы показатели экспоненты были равны:

\[\frac{-L}{R} \cdot \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_0}\right) = \frac{-L}{R} \cdot \left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_0}\right)\]

Домножим обе части равенства на \(-\frac{R}{L}\) и перенесем одно слагаемое в другую часть:

\[\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_0} = \frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_0}\]

\[T_2 = T_1\]

Теперь мы знаем, что абсолютные температуры в обоих сосудах равны.

Подставим это в уравнение (1) и выразим \(V_2\):

\[\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\]
\[\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_1}\]
\[V_2 = V_1\]

Из этого следует, что объем второго сосуда равен 10 литрам, так как объем первого сосуда равен 10 литрам.

Таким образом, ответ на задачу состоит в том, что объем второго сосуда также равен 10 литрам.