Каков объем усеченной пирамиды, у которой стороны основания равны 4 см и 6 см, а угол наклона ребер к основанию

Для решения этой задачи, нам необходимо знать формулу объема пирамиды. Объем пирамиды можно вычислить, умножая площадь основания на высоту и делить полученное значение на 3.

Однако, у нас есть усеченная пирамида, поэтому нам необходимо учесть, что у нас есть два основания и две высоты. Итак, давайте разобьем задачу на две части: найдем объем основной пирамиды и вычтем объем второго основания, чтобы получить искомый объем усеченной пирамиды.

1. Найдем объем основной пирамиды:
- Начнем с вычисления площади основания. Пусть сторона одного основания равна "a" и сторона другого основания равна "b". В данном случае, \(a = 4 см\) и \(b = 6 см\). Тогда площадь основания равна произведению сторон основания: \(S_{\text{осн}} = a \cdot b\).
- Теперь найдем высоту основной пирамиды. У нас есть угол наклона ребер к основанию, который составляет 45 градусов. Обозначим высоту основной пирамиды как "h". Мы можем использовать тригонометрию для вычисления высоты через тангенс угла, применяя формулу \(h = \frac{{S_{\text{осн}}}}{{2 \cdot \tan(\text{угол})}}\).

2. Теперь найдем объем усеченной пирамиды:
- Расчет объема второго основания. Площадь второго основания равна \(S_{\text{усеч}} = a^2\).
- Найдем высоту усеченной пирамиды. Обозначим ее как \(h_{\text{усеч}}\). Используем подобие треугольников, чтобы найти соотношение между высотами: \(\frac{{h_{\text{усеч}}}}{{h}} = \frac{{S_{\text{усеч}}}}{{S_{\text{осн}}}}\). Тогда \(h_{\text{усеч}} = \frac{{S_{\text{усеч}}}}{{S_{\text{осн}}}} \cdot h\).
- Объем усеченной пирамиды: \(V_{\text{усеч}} = \frac{{S_{\text{осн}} + S_{\text{усеч}}}}{{3}} \cdot h_{\text{усеч}}\).

Теперь, подставим значения и решим задачу шаг за шагом:

1. Вычисление объема основной пирамиды:
- Площадь основания: \(S_{\text{осн}} = 4 \, \text{см} \cdot 6 \, \text{см} = 24 \, \text{см}^2\).
- Высота основной пирамиды: \(h = \frac{{24 \, \text{см}^2}}{{2 \cdot \tan(45 \, \text{град})}} = 12 \, \text{см}\).

2. Вычисление объема усеченной пирамиды:
- Площадь второго основания: \(S_{\text{усеч}} = 4 \, \text{см}^2\).
- Высота усеченной пирамиды: \(h_{\text{усеч}} = \frac{{4 \, \text{см}^2}}{{24 \, \text{см}^2}} \cdot 12 \, \text{см} = 2 \, \text{см}\).
- Объем усеченной пирамиды: \(V_{\text{усеч}} = \frac{{24 \, \text{см}^2 + 4 \, \text{см}^2}}{{3}} \cdot 2 \, \text{см} = 16 \, \text{см}^3\).

Таким образом, объем усеченной пирамиды равен 16 кубическим сантиметрам.