Каков объём усеченной четырехугольной пирамиды с одинаковыми боковыми гранями длиной 7 см и 6 см, а разность площадей

Обозначим стороны оснований усеченной четырехугольной пирамиды через \(a\) и \(b\), где \(a\) - большая сторона, \(b\) - меньшая сторона. По условию, мы знаем, что разность площадей оснований равна. Обозначим эту разность через \(S\) и найдем ее значение.

Площадь основания пирамиды равна площади прямоугольника, одна из сторон которого равна длине основания, а другая сторона равна периметру пирамиды, поделенному на 4. Так как боковые грани пирамиды равнобедренные треугольники, каждая из них имеет боковые стороны равные 6 см и 7 см. Значит, периметр пирамиды равен \(4 \times (\text{сторона треугольника}) = 4 \times 6\text{ см} = 24\text{ см}\).

Таким образом, площадь большего основания \(S_a\) равна:

\[S_a = a \times \left(\frac{24}{4}\right) = 6a \text{ см}^2.\]

А площадь меньшего основания \(S_b\) равна:

\[S_b = b \times \left(\frac{24}{4}\right) = 6b \text{ см}^2.\]

Теперь мы знаем, что разность площадей оснований равна:

\[S = S_a - S_b = 6a - 6b \text{ см}^2.\]

Исходя из этого уравнения, мы можем выразить \(a\) через \(b\):

\[a = \frac{S}{6} + b.\]

Теперь, чтобы найти объем пирамиды, нам необходимо знать площадь нижнего и верхнего сечений пирамиды, а также высоту пирамиды.

Площадь нижнего сечения будет равна площади основания \(S_b\), а площадь верхнего сечения будет равна площади большего основания \(S_a\).

Высоту пирамиды обозначим через \(h\). Определим соотношение между этими величинами.

Из подобия треугольников следует, что:

\[\frac{h}{7} = \frac{h - 6}{b}. \quad \text{(1)}\]

Также, по теореме Пифагора, мы можем выразить высоту пирамиды через \(a\), \(b\) и боковую ребро \(c\):

\[h^2 = c^2 - \left(\frac{a + b}{2}\right)^2. \quad \text{(2)}\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными ( \(a\) и \(b\) ). Решим их систему.

Из уравнения (1) выразим \(h\) через \(b\):

\[h = \frac{7h - 6b}{b}.\]

Подставим это выражение для \(h\) в уравнение (2):

\[\left(\frac{7h - 6b}{b}\right)^2 = c^2 - \left(\frac{a + b}{2}\right)^2.\]

Упростим это уравнение:

\[49h^2 - 84hb + 36b^2 = 4c^2 - (a + b)^2.\]

Теперь, используя уравнение (2) и выражение для \(S\), подставим значения \(h^2\) и \(\left(\frac{a + b}{2}\right)^2\):

\[49\left(c^2 - \left(\frac{a + b}{2}\right)^2\right) - 84hb + 36b^2 = 4c^2 - (a + b)^2.\]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[49c^2 - \frac{49(a + b)^2}{4} - 84hb + 36b^2 = 4c^2 - (a^2 + 2ab + b^2).\]

Упростим это уравнение:

\[\frac{49(a^2 + 2ab + b^2)}{4} + 84hb - 36b^2 = 0.\]

Рассмотрим это уравнение:

\[\frac{49a^2}{4} + \frac{49ab}{2} + \frac{49b^2}{4} + 84hb - 36b^2 = 0.\]

Приведем подобные члены:

\[\frac{49a^2}{4} + \frac{49ab}{2} + \frac{49b^2}{4} + 84hb - 36b^2 = \frac{49a^2}{4} + \frac{98ab}{4} + \frac{49b^2}{4} + 84hb - 36b^2 = \frac{(7a + 14b)^2}{4} + 84hb - 36b^2 = 0.\]

Теперь мы можем воспользоваться полученным уравнением, чтобы найти объем пирамиды.

Объем \(V\) усеченной пирамиды равен:

\[V = \frac{1}{3} \times S \times h.\]

Но мы уже выражали \(h\) через \(b\), поэтому подставим это выражение и значения \(S\) из начального уравнения:

\[V = \frac{1}{3} \times (6a - 6b) \times \frac{7h - 6b}{b}.\]

Коэффициент \(\frac{1}{3}\) можно записать как \(\frac{2}{6}\), чтобы сократить значения:

\[V = \frac{2}{6} \times (6a - 6b) \times \frac{7h - 6b}{b}.\]

Упростим это уравнение:

\[V = \frac{2}{3} (7a - 8b)(h - \frac{6b}{7}).\]

Теперь мы можем найти объем усеченной пирамиды с данными сторонами оснований. Подставьте значение \(a\) в уравнение, выраженное через \(b\) ранее, и вычислите \(V\).