Каков объем треугольной призмы, сечение которой, проведенное через ребро нижнего основания длиной 5 см и вершину

Первым шагом нам нужно вычислить площадь треугольника, образованного сечением призмы. Затем, используя эту площадь и длину ребра нижнего основания, мы сможем вычислить объем призмы.

Для начала найдем площадь треугольника, образованного сечением призмы, используя формулу площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\alpha)\]

Где \(a\) и \(b\) - длины сторон треугольника сечения, а \(\alpha\) - угол между плоскостью сечения и нижним основанием.

Подставим значения:

\(a = 5\) см, \(b = 12\) см, \(\alpha = 30^\circ\)

\[S = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 \times \sin(30^\circ)\]

Выполним вычисления:

\[S = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 \times 0.5\]

\[S = 30 \times 0.5\]

\[S = 15\, \text{см}^2\]

Теперь, когда у нас есть площадь треугольника сечения, мы можем вычислить объем призмы. Объем призмы вычисляется, умножая площадь основания на высоту.

Поскольку треугольная призма имеет треугольное основание, площадь основания равна площади треугольника сечения, которую мы уже нашли (\(15 \, \text{см}^2\)).

Высоту призмы мы не знаем, но мы можем ее найти, используя известные стороны треугольника сечения и теорему Пифагора. Треугольник с сторонами 5, 12 и 13 см является прямоугольным, так как выполнено условие \(5^2 + 12^2 = 13^2\).

Из этого следует, что высота призмы равна длине стороны 13 см.

Теперь мы можем вычислить объем призмы, подставив значения:

\[V = S \times h\]

\[V = 15 \, \text{см}^2 \times 13 \, \text{см}\]

Выполним вычисления:

\[V = 195 \, \text{см}^3\]

Таким образом, объем треугольной призмы составляет 195 кубических сантиметров.