Каков объём треугольной пирамиды kabc, если угол ∠acb равен 90°, длина отрезка ac равна длине отрезка cb, длина отрезка

Чтобы найти объем треугольной пирамиды kabc, нам понадобится использовать формулу для объема пирамиды. Объем пирамиды вычисляется по формуле:

\[V = \frac{1}{3} \times S_{base} \times h\]

где \(S_{base}\) - площадь основания пирамиды, а \(h\) - высота пирамиды. Давайте пошагово решим эту задачу.

Шаг 1: Найдем площадь основания пирамиды \(S_{base}\).
Поскольку угол \(\angle acb\) равен 90°, треугольник \(abc\) является прямоугольным треугольником. Известно, что длина отрезка \(ac\) равна длине отрезка \(cb\), а длина отрезка \(ab\) равна \(10 \cdot c\).

Зная, что в прямоугольном треугольнике площадь основания равна половине произведения катетов, мы можем выразить площадь основания \(S_{base}\) следующим образом:

\[S_{base} = \frac{1}{2} \times ac \times bc\]

Поскольку \(ac = cb\) и \(ab = 10 \cdot c\), мы можем записать:

\[S_{base} = \frac{1}{2} \times ac \times ac = \frac{1}{2} \times ac^2\]

Шаг 2: Найдем высоту пирамиды \(h\).
Из условия задачи известно, что каждое боковое ребро пирамиды образует угол с плоскостью основания. Так как плоскость основания треугольной пирамиды \(kabc\) параллельна плоскости треугольника \(abc\), высота пирамиды проходит перпендикулярно к плоскости основания и проходит через вершину \(k\) пирамиды.

Таким образом, высота пирамиды равна длине отрезка, соединяющего вершину \(k\) и плоскость основания. Проекция отрезка \(kb\) на плоскость основания является медианой треугольника \(abc\), и треугольник \(akb\) будет прямоугольным.

По свойству прямоугольного треугольника, медиана одного из катетов прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы. Следовательно, длина отрезка \(kb\) равна половине длины отрезка \(ab\).

Таким образом, \(h = \frac{1}{2} \times ab = \frac{1}{2} \times 10 \cdot c = 5 \cdot c\).

Шаг 3: Найдем объем пирамиды \(V\).
Подставляем известные значения в формулу для объема пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \times S_{base} \times h = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times ac^2 \times 5 \cdot c = \frac{5}{6} \times ac^2 \cdot c = \frac{5}{6} \times a \cdot c^3\]

Таким образом, объем треугольной пирамиды \(kabc\) равен \(\frac{5}{6} \times a \cdot c^3\).