Каков объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью, которая проходит через точку (-3; -6

Для того чтобы найти объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью, через точку и перпендикулярную вектору, мы можем воспользоваться формулой для объема тетраэдра в пространстве.

Формула для объема тетраэдра: \(V = \frac{1}{6} \cdot \left| (\mathbf{a} - \mathbf{d}) \cdot ((\mathbf{b} - \mathbf{d}) \times (\mathbf{c} - \mathbf{d})) \right|\), где \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\), \(\mathbf{c}\), и \(\mathbf{d}\) - вершины тетраэдра.

В нашем случае, у нас есть вершины тетраэдра: (0;0;0), (1;0;0), (0;1;0) и точка \((-3;-6;4)\), через которую проходит плоскость.

Для начала найдем векторы, образованные вершинами тетраэдра:
\(\mathbf{a} = (0;0;0)\)
\(\mathbf{b} = (1;0;0)\)
\(\mathbf{c} = (0;1;0)\)
\(\mathbf{d} = (-3;-6;4)\)

Теперь найдем векторы \(\mathbf{a} - \mathbf{d}\), \(\mathbf{b} - \mathbf{d}\) и \(\mathbf{c} - \mathbf{d}\):
\(\mathbf{a} - \mathbf{d} = (0-(-3);0-(-6);0-4) = (3;6;-4)\)
\(\mathbf{b} - \mathbf{d} = (1-(-3);0-(-6);0-4) = (4;6;-4)\)
\(\mathbf{c} - \mathbf{d} = (0-(-3);1-(-6);0-4) = (3;7;-4)\)

Теперь найдем векторное произведение \((\mathbf{b} - \mathbf{d}) \times (\mathbf{c} - \mathbf{d})\):
\((\mathbf{b} - \mathbf{d}) \times (\mathbf{c} - \mathbf{d}) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & 6 & -4 \\ 3 & 7 & -4 \end{vmatrix}\)

Воспользуемся правилом для нахождения векторного произведения:
\((\mathbf{b} - \mathbf{d}) \times (\mathbf{c} - \mathbf{d}) = (6 \cdot (-4) - 7 \cdot (-4))\mathbf{i} - (4 \cdot (-4) - 3 \cdot (-4))\mathbf{j} + (4 \cdot 7 - 3 \cdot 6)\mathbf{k} = (-8,-4,10)\)

Теперь найдем скалярное произведение \(\mathbf{a} - \mathbf{d}) \cdot ((\mathbf{b} - \mathbf{d}) \times (\mathbf{c} - \mathbf{d})\):
\((\mathbf{a} - \mathbf{d}) \cdot ((\mathbf{b} - \mathbf{d}) \times (\mathbf{c} - \mathbf{d}) = (3,-6,-4) \cdot (-8,-4,10) = 3 \cdot (-8) + (-6) \cdot (-4) + (-4) \cdot 10 = -24 + 24 - 40 = -40\)

Теперь мы можем подставить полученные значения в формулу для объема тетраэдра:
\(V = \frac{1}{6} \cdot |-40| = \frac{1}{6} \cdot 40 = \frac{40}{6} = \frac{20}{3}\)

Таким образом, объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью, проходящей через точку (-3, -6, 4) и перпендикулярной вектору (2,4,-5), равен \(\frac{20}{3}\) единиц объема.