Каков объем тела вращения прямоугольника, у которого диагонали равны m и острый угол между ними равен φ, если

Чтобы найти объем тела вращения прямоугольника вокруг его меньшей стороны, мы можем использовать метод цилиндра и взять произведение площади основания цилиндра и высоты цилиндра.

Для начала найдем площадь основания цилиндра. Так как прямоугольник вращается вокруг меньшей стороны, то основание цилиндра будет иметь форму квадрата. Диагональ квадрата равна m, а острый угол между диагоналями равен φ.

Чтобы найти сторону квадрата, воспользуемся теоремой косинусов. В прямоугольнике, стороны которого образуют острый угол φ, стороны прямоугольника обозначим как a и b, где а - это меньшая сторона.

Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \phi\]

Заметим, что диагонали прямоугольника являются его диагоналями, поэтому m - это гипотенуза треугольника со сторонами a и b. Это дает нам следующее уравнение:

\[m^2 = a^2 + b^2\]

Разрешая это уравнение относительно b, получаем:

\[b^2 = m^2 - a^2\]
\[b = \sqrt{m^2 - a^2}\]

Теперь у нас есть выражение для стороны квадрата через его меньшую сторону a. Площадь основания цилиндра равна стороне квадрата в квадрате:

\[S = (\sqrt{m^2 - a^2})^2\]
\[S = m^2 - a^2\]

Теперь найдем высоту цилиндра. В данном случае высота цилиндра будет равной большей стороне прямоугольника:

\[h = b\]

Теперь у нас есть площадь основания цилиндра и его высота. Чтобы найти объем тела вращения, умножим площадь основания на высоту:

\[V = S \cdot h\]
\[V = (m^2 - a^2) \cdot b\]

Таким образом, объем тела вращения прямоугольника будет равен \((m^2 - a^2) \cdot b\), где a - меньшая сторона прямоугольника, b - большая сторона прямоугольника, m - диагональ прямоугольника и φ - острый угол между диагоналями.