Каков объём тела, полученного в результате вращения фигуры, ограниченной прямыми у = - х + 3, х = 0, х = 3, у

Для начала давайте определим, какая фигура образуется ограничением, заданным прямыми.

Прямые y = -x + 3 и y = 0 пересекаются при x = 3 и x = 0 соответственно. При этом прямые x = 0 и x = 3 задают отрезок на оси x.

Таким образом, фигура, ограниченная прямыми у = -x + 3, x = 0, x = 3, у = 0, является треугольником с вершинами (0, 3), (0, 0) и (3, 0).

Теперь мы можем рассмотреть вращение этой фигуры вокруг оси x. Чтобы найти объём тела, полученного в результате такого вращения, мы можем использовать формулу для объёма тела вращения.

Для этого нам понадобится интеграл. Дифференциальный элемент dV объёма, полученного вращением фигуры вокруг оси x, будет равен площади поперечного сечения на высоте y, умноженной на длину элемента dx поперечного сечения.

Площадь поперечного сечения на высоте y равна площади треугольника, т.е.

\[dS = \frac{1}{2} \cdot y \cdot dx.\]

Тогда дифференциальный элемент объёма можно записать как

\[dV = \frac{1}{2} \cdot y \cdot dx.\]

Интегрируя дифференциальные элементы объёма по переменной x от x = 0 до x = 3, мы получим объём тела:

\[V = \int_{0}^{3} \frac{1}{2} \cdot y \cdot dx.\]

Теперь давайте найдем выражение для y. Уравнение прямой y = -x + 3 можно переписать в виде x = -y + 3.

Подставляя это выражение для x в уравнение x = 3, получим:

-у + 3 = 3,

откуда следует у = 0.

Таким образом, пределы интегрирования по y будут от 0 до -x + 3.

Теперь мы можем записать выражение для объёма V в виде интеграла:

\[V = \int_{0}^{3} \frac{1}{2} \cdot (-x + 3) \cdot dx.\]

Вычислим этот интеграл:

\[V = \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) \, dx.\]

Интегрируя по отдельным членам, получаем:

\[V = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right) \bigg|_{0}^{3}.\]

Подставляя верхний и нижний пределы интегрирования, получаем:

\[V = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} \right) - \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{0^3}{3} + \frac{3 \cdot 0^2}{2} \right).\]

Вычисляя значения, получаем:

\[V = \frac{1}{2} \cdot \left( -9 + \frac{27}{2} \right) - \frac{1}{2} \cdot 0.\]

\[V = \frac{1}{2} \cdot \left( -9 + \frac{27}{2} \right).\]

\[V = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{18}{2} + \frac{27}{2} \right).\]

\[V = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2}.\]

\[V = \frac{9}{4}.\]

Таким образом, объём тела, полученного в результате вращения фигуры, ограниченной прямыми у = -х + 3, х = 0, х = 3, у = 0, вокруг оси x, равен \(\frac{9}{4}\) единиц объёма.