Каков объем тела, полученного при повороте вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=√x

Для решения данной задачи нам необходимо найти объем тела, полученного при повороте вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции. Для этого мы можем использовать формулу поверхности вращения, которая связана с определенным интегралом.

Для начала, построим график криволинейной трапеции, ограниченной линиями \(y = \sqrt{x}\), \(y = 0\), \(x = 1\) и \(x = 4\).

\[
\begin{array}{c|c}
x & y = \sqrt{x} \\
\hline
1 & 1 \\
4 & 2 \\
\end{array}
\]

На основании этого, мы видим, что криволинейная трапеция имеет две боковые стороны длиной 1 и 2 и параллельные боковые стороны, проходящие между \(x = 1\) и \(x = 4\).

Теперь давайте найдем путь \(s\), пройденный точкой за 10 секунд от начала движения, используя уравнение \(v = 3t^2 + 2t + 1\) (м/с). Чтобы найти путь, мы можем проинтегрировать уравнение скорости по времени.

\[
\begin{align*}
s &= \int_{0}^{10} v\,dt \\
&= \int_{0}^{10} (3t^2 + 2t + 1)\,dt \\
&= \left[\frac{t^3}{1} + t^2 + t\right]_{0}^{10} \\
&= \left(\frac{10^3}{1} + 10^2 + 10\right) - \left(\frac{0^3}{1} + 0^2 + 0\right) \\
&= (1000 + 100 + 10) - (0 + 0 + 0) \\
&= 1110 \text{ метров}
\end{align*}
\]

Таким образом, путь, пройденный точкой за 10 секунд от начала движения, составляет 1110 метров.

Теперь перейдем к решению основной задачи - нахождению объема тела, полученного при повороте криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс.

Используя формулу поверхности вращения, объем тела может быть найден следующим образом:

\[
V = \pi \int_{1}^{4} \left(\sqrt{x}\right)^2\,dx
\]

\[
V = \pi \int_{1}^{4} x\,dx
\]

\[
V = \pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{4}
\]

\[
V = \pi \left(\frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2}\right)
\]

\[
V = \pi \left(\frac{16}{2} - \frac{1}{2}\right)
\]

\[
V = \pi \left(8 - \frac{1}{2}\right)
\]

\[
V = \pi \cdot \frac{15}{2}
\]

Итак, объем тела, полученного при повороте вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, составляет \(\frac{15}{2}\pi\).