Каков объем тела, образованного вращением прямоугольного треугольника с катетом длиной 3 см и прилежащим углом

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать теорему Пифагора, а также формулу для объема тела вращения.

Первым шагом давайте найдем гипотенузу прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора. Зная длину одного катета (3 см), мы можем найти гипотенузу \(c\) по формуле:

\[c = \sqrt{{a^2 + b^2}} \]

где \(a\) и \(b\) - длины катетов.

В данной задаче катеты это \(3\) см и \(b\) - это длина \(3\) см катета, а катет \(a\) - это длина прилежащего к нему угла.

Так как у нас прямоугольный треугольник со сторонами \(3\) см и \(b\) (гипотенуза), мы можем использовать формулу Пифагора:

\[b^2 = c^2 - a^2\]

Подставим известные значения:

\[b^2 = (3\, \text{см})^2 - a^2\]

\[b^2 = 9\, \text{см}^2 - a^2\]

Так как угол прилежащий, мы можем найти его с помощью геометрических свойств треугольников или таблицы треков синусов, тогда \(sin(30)\) равен \(sin(\pi/6) = 1/2\). Зная это, можем продолжить решение.

\[b^2 = 9\, \text{см}^2 - a^2\]

\[b^2 = 9\, \text{см}^2 - (3\, \text{см})^2\]

\[b^2 = 9\, \text{см}^2 - 9\, \text{см}^2\]

\[b^2 = 0\, \text{см}^2\]

Теперь, когда мы знаем, что \(b^2 = 0\, \text{см}^2\), мы можем заключить, что \(b = 0\, \text{см}\). Это означает, что гипотенуза треугольника равна 0, что является невозможным.

Таким образом, объем тела, образованного вращением прямоугольного треугольника вокруг меньшего катета невозможно рассчитать, так как гипотенуза равна нулю, и мы не можем использовать формулу для объема тела вращения. Вы можете проверить результат, рассмотрев формулу объема: \(V = \pi \int_{a}^{b} f(x)^2 dx\), где \(f(x)\) - это функция, представляющая сечение, а \(a\) и \(b\) - пределы интегрирования.