Каков объем шара, который вписан в треугольную пирамиду с основанием b и высотой

Чтобы найти объем шара, вписанного в треугольную пирамиду с основанием \(b\) и высотой \(h\), нужно использовать формулу для объема шара и найти радиус этого шара.

Объем шара можно найти по формуле: \[V = \frac{4}{3} \pi r^3\]

Радиус \(r\) шара, вписанного в пирамиду, равен радиусу вписанной окружности основания пирамиды.

Так как основание пирамиды - треугольник, нам понадобятся некоторые свойства треугольников.

Мы знаем, что в равнобедренном треугольнике радиус вписанной окружности делит основание треугольника на две равные части.

Для этой пирамиды, высоту \(h\) можно разбить на отрезки длиной \(h_1\) и \(h_2\), где \(h_1\) - высота, от начала координат до основания пирамиды, а \(h_2\) - высота, от основания пирамиды до вершины.

Теперь у нас есть два треугольника: прямоугольный треугольник с основанием \(b\) и высотой \(h_1\) и равнобедренный треугольник с основанием \(b\) и высотой \(h_2\).

Для прямоугольного треугольника мы можем легко выразить радиус вписанной окружности через \(b\) и \(h_1\) с помощью формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике: \[r_1 = \frac{{b + h_1 - \sqrt{b^2 + h_1^2}}}{2}\]

Для равнобедренного треугольника мы можем выразить радиус вписанной окружности через \(b\) и \(h_2\) с помощью формулы радиуса вписанной окружности в равнобедренном треугольнике: \[r_2 = \frac{{b + h_2 - \sqrt{b^2 + h_2^2}}}{2}\]

Так как два треугольника объединены, радиус шара, вписанного в пирамиду, будет минимальным значением между \(r_1\) и \(r_2\). То есть, радиус шара будет равен: \[r = \min(r_1, r_2)\]

Наконец, мы можем подставить значение радиуса \(r\) в формулу объема шара, чтобы найти искомый ответ: \[V = \frac{4}{3} \pi r^3\]