Каков объем прямой призмы, основание которой представляет собой равнобедренный треугольник АВС, такой что АВ = АС

Для решения данной задачи, давайте разобьем ее на несколько составляющих.

1. Рисунок:
Дано, что основание прямой призмы представляет собой равнобедренный треугольник АВС, где стороны АВ, АС и ВС равны b. Также известно, что боковая грань призмы является квадратом.

Построим рисунок, отображающий данную информацию:


2. Объяснение:
Объем прямой призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту.

Высота прямой призмы равна стороне квадрата \[h = b\].

Площадь основания можно найти, используя площадь равнобедренного треугольника. Формула площади треугольника АВС с высотой h и основанием b выглядит следующим образом:
\[S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h\]

Заметим, что у треугольника АВС две равные стороны (АВ и АС), а угол А равен α. Так как формула для площади треугольника требует знания высоты, нам нужно найти эту высоту.

3. Нахождение высоты треугольника:
Чтобы найти высоту треугольника, мы можем использовать теорему синусов, которая связывает стороны и углы треугольника. Для нашего треугольника АВС применим следующее соотношение:
\[\sin(\alpha) = \frac{h}{\frac{b}{2}}\]

Решим это уравнение, чтобы найти значение высоты h:
\[h = \frac{\sin(\alpha) \cdot \frac{b}{2}}{1}\]
\[h = \frac{\sin(\alpha) \cdot b}{2}\]

4. Нахождение площади основания:
Теперь, имея значение высоты треугольника, мы можем найти площадь основания призмы, зная площадь треугольника АВС:
\[S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{\sin(\alpha) \cdot b}{2}\]
\[S = \frac{1}{4} \cdot b^2 \cdot \sin(\alpha)\]

5. Нахождение объема призмы:
Теперь, когда у нас есть площадь основания S и высота призмы h, мы можем найти объем призмы, используя формулу:
\[V = S \cdot h\]
\[V = \frac{1}{4} \cdot b^2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \frac{b}{2}\]
\[V = \frac{1}{8} \cdot b^3 \cdot \sin(\alpha)\]

Таким образом, объем прямой призмы с основанием, представляющим собой равнобедренный треугольник, и боковой гранью, являющейся квадратом, равен \(\frac{1}{8} \cdot b^3 \cdot \sin(\alpha)\).