Каков объем прямоугольного параллелепипеда, если площади двух его граней равны 35 см^2 и 42 см^2, а длина их общего

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для объема прямоугольного параллелепипеда, которая гласит:

\[V = lwh,\]

где \(V\) - объем, \(l\) - длина, \(w\) - ширина и \(h\) - высота параллелепипеда.

У нас даны площади двух граней параллелепипеда, а именно 35 см\(^2\) и 42 см\(^2\). Поскольку мы знаем, что площадь каждой грани равна произведению соответствующих сторон, мы можем записать следующую систему уравнений:

\[lw = 35 \quad (1)\]
\[wh = 42 \quad (2)\]

Также нам дано, что длина их общего ребра составляет \(x\) см. Обратите внимание, что это общая длина, и она выражается как сумма длин трех ребер параллелепипеда (длина, ширина и высота соответственно):

\[l + w + h = x \quad (3)\]

Теперь мы имеем систему уравнений из трех уравнений (1), (2) и (3), которые мы можем решить, чтобы найти значения \(l\), \(w\) и \(h\) и затем подставить их в формулу для объема.

Для удобства решения данной системы уравнений, давайте использовать метод подстановки. Из уравнения (3) можно выразить одну из переменных, например, \(h\), через остальные две:

\[h = x - l - w.\]

Подставим полученное выражение в уравнение (2):

\[w(x - l - w) = 42.\]

Раскроем скобки и приведем квадратное уравнение к стандартному виду:

\[wx - wl - w^2 = 42.\]

Собрав все слагаемые влево и приведя подобные, получаем:

\[w^2 - (x - l)w + 42 = 0.\]

Данное уравнение является квадратным и может быть решено с помощью квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c = 0\). В данном случае коэффициенты равны:

\[a = 1, \quad b = -(x - l), \quad c = 42.\]

Используя формулу дискриминанта, определим его значение:

\[D = b^2 - 4ac.\]

Теперь, в зависимости от значения дискриминанта, у нас есть три возможных случая:

1. Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных корня \(w_1\) и \(w_2\). Можем выбрать значение \(w_1\) или \(w_2\) и решить уравнение (1) для нахождения \(l\).

2. Если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень. В этом случае у нас будет одно значение для \(w\), и мы сможем найти нужное значение \(l\) из уравнения (1).

3. Если \(D < 0\), то корней нет, и у нас нет подходящего значения для \(w\). Это означает, что задача не имеет решения при заданных условиях.

После нахождения значений \(w\) и \(l\) из уравнений (1) и (2), мы можем подставить их в уравнение (3), чтобы найти значение \(h\). Затем, получив все три значения \(l\), \(w\) и \(h\), мы можем использовать формулу для объема \(V = lwh\) и вычислить ответ.

Пожалуйста, дайте мне значения для \(x\) и я помогу вам решить эту задачу.