Каков объем прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если длины сторон AB, AD и A1B1 равны 4 и угол BAD равен 60°, а угол

Для решения задачи нам понадобятся понятия об объеме прямого параллелепипеда и правиле синусов.

Объем прямого параллелепипеда можно вычислить, умножив длину, ширину и высоту параллелепипеда. В нашем случае, длина параллелепипеда равна стороне AB, ширина равна стороне AD, а высота равна стороне A1B1.

Чтобы найти высоту параллелепипеда A1B1D1D, мы можем воспользоваться формулой высоты прямоугольного треугольника, которая гласит:

$$h=a\times \sin (\alpha )$$

где h - высота, a - длина основания треугольника, $\alpha$ - угол между основанием и высотой.

В данной задаче у нас есть треугольник ABD с основанием AD и углом BAD, и треугольник A1D1D с основанием A1D1 и углом D1OD. Значит, нам нужно найти высоты треугольников ABD и A1D1D и использовать их для вычисления высоты параллелепипеда A1B1D1D.

Начнем с вычисления высоты треугольника ABD. У нас есть основание AD длиной 4 и угол BAD равный 60°. Подставим значения в формулу:

$$h_{ABD}=AD\times \sin (BAD)$$

По правилу синусов:

$$\sin (BAD)=\frac{AB}{BD}$$

Так как угол BAD равен 60°, то угол ABD равен 180° - 60° = 120°. Используя эту информацию, можем найти:

$$\sin (BAD)=\sin (60°)=\sin (180°-120°)=\sin (120°)$$

Теперь мы можем вычислить длину BD, используя тот факт, что треугольник ABD - равносторонний:

$$BD=AD=4$$

Подставим все значения в формулу для высоты треугольника ABD:

$$h_{ABD}=4\times \sin (120°)$$

Теперь, когда у нас есть высота треугольника ABD, мы можем продолжить вычисление высоты параллелепипеда A1B1D1D.

Найдем угол D1OD. По условию он равен 60°.

Теперь, применим формулу для высоты треугольника A1D1D:

$$h_{A1D1D}=A1D1\times \sin (D1OD)$$

У нас уже есть длина A1D1, она равна 4. Подставим значения в формулу:

$$h_{A1D1D}=4\times \sin (60°)$$

Теперь, когда у нас есть высоты треугольников ABD и A1D1D, мы можем вычислить высоту параллелепипеда A1B1D1D, которая равна длине A1B1:

$$h_{A1B1D1D}=A1B1=A1D1=4$$

Таким образом, объем прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 составит:

$$V=AB\times AD\times A1B1=4\times 4\times 4=64$$

Ответ: объем прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 64 единицам объема.