Каков объем прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если длины сторон AB, AD и A1B1 равны 4 и угол BAD равен 60°, а угол

Для решения задачи нам понадобятся понятия об объеме прямого параллелепипеда и правиле синусов.

Объем прямого параллелепипеда можно вычислить, умножив длину, ширину и высоту параллелепипеда. В нашем случае, длина параллелепипеда равна стороне AB, ширина равна стороне AD, а высота равна стороне A1B1.

Чтобы найти высоту параллелепипеда A1B1D1D, мы можем воспользоваться формулой высоты прямоугольного треугольника, которая гласит:

\[h = a \times \sin(\alpha)\]

где h - высота, a - длина основания треугольника, \(\alpha\) - угол между основанием и высотой.

В данной задаче у нас есть треугольник ABD с основанием AD и углом BAD, и треугольник A1D1D с основанием A1D1 и углом D1OD. Значит, нам нужно найти высоты треугольников ABD и A1D1D и использовать их для вычисления высоты параллелепипеда A1B1D1D.

Начнем с вычисления высоты треугольника ABD. У нас есть основание AD длиной 4 и угол BAD равный 60°. Подставим значения в формулу:

\[h_{ABD} = AD \times \sin(BAD)\]

По правилу синусов:

\[\sin(BAD) = \frac{AB}{BD}\]

Так как угол BAD равен 60°, то угол ABD равен 180° - 60° = 120°. Используя эту информацию, можем найти:

\[\sin(BAD) = \sin(60°) = \sin(180° - 120°) = \sin(120°)\]

Теперь мы можем вычислить длину BD, используя тот факт, что треугольник ABD - равносторонний:

\[BD = AD = 4\]

Подставим все значения в формулу для высоты треугольника ABD:

\[h_{ABD} = 4 \times \sin(120°)\]

Теперь, когда у нас есть высота треугольника ABD, мы можем продолжить вычисление высоты параллелепипеда A1B1D1D.

Найдем угол D1OD. По условию он равен 60°.

Теперь, применим формулу для высоты треугольника A1D1D:

\[h_{A1D1D} = A1D1 \times \sin(D1OD)\]

У нас уже есть длина A1D1, она равна 4. Подставим значения в формулу:

\[h_{A1D1D} = 4 \times \sin(60°)\]

Теперь, когда у нас есть высоты треугольников ABD и A1D1D, мы можем вычислить высоту параллелепипеда A1B1D1D, которая равна длине A1B1:

\[h_{A1B1D1D} = A1B1 = A1D1 = 4\]

Таким образом, объем прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 составит:

\[V = AB \times AD \times A1B1 = 4 \times 4 \times 4 = 64\]

Ответ: объем прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 64 единицам объема.