Каков объем производства, при котором монополист будет получать наибольшую прибыль, на монополизированном рынке

Чтобы определить объем производства, при котором монополист получит наибольшую прибыль, мы должны анализировать функцию прибыли монополиста. Формула для прибыли \( \pi \) монополиста имеет вид:

\[
\pi = (p - AC) \cdot q
\]

где \( p \) - цена, \( AC \) - средние переменные издержки, а \( q \) - количество произведенных товаров.

Для того чтобы найти оптимальный объем производства, при котором монополист получит наибольшую прибыль, мы должны найти максимум функции прибыли.

Сначала выразим цену \( p \) через уравнение спроса \( q_d \). Подставим значение \( q_d = q \) в уравнение спроса:

\[
q = 30 - 10p
\]

Теперь мы можем выразить цену \( p \) через \( q \):

\[
p = 3 - \frac{q}{10}
\]

Теперь, зная \( p \), мы можем выразить средние переменные издержки \( AC \) через \( q \). Формула для \( AC \) выглядит следующим образом:

\[
AC = \frac{\text{общие переменные издержки}}{q} = \frac{6}{q}
\]

Подставим значения в функцию прибыли:

\[
\pi = \left(3 - \frac{q}{10} - \frac{6}{q}\right) \cdot q
\]

Раскроем скобки:

\[
\pi = 3q - \frac{q^2}{10} - 6
\]

Теперь найдем производную функции прибыли по \( q \) и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

\[
\frac{d\pi}{dq} = 3 - \frac{q}{5} = 0
\]

Решим это уравнение:

\[
3 - \frac{q}{5} = 0 \implies \frac{q}{5} = 3 \implies q = 15
\]

Таким образом, объем производства, при котором монополист будет получать наибольшую прибыль, равен 15 единиц товара.

Для подтверждения, рассмотрим вторую производную функции прибыли:

\[
\frac{d^2\pi}{dq^2} = -\frac{1}{5}
\]

Как видим, вторая производная отрицательна, что означает, что имеется максимум прибыли в точке \( q = 15 \).

Таким образом, при производстве 15 единиц товара монополист будет получать наибольшую прибыль.