Каков объем правильной треугольной призмы, у которой сторона основания равна 200см, а диагональ боковой грани образует

Чтобы найти объем правильной треугольной призмы с заданными параметрами, нам понадобится использовать формулу для вычисления объема призмы: $V=S\cdot h$, где $S$ - площадь основания, $h$ - высота призмы.

1. Начнем с вычисления площади основания.
Поскольку основание призмы - правильный треугольник, мы можем использовать формулу для площади правильного треугольника: $S_{\text{осн}}=\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}$, где $a$ - длина стороны основания. В данной задаче задана длина стороны основания равная 200 см, поэтому можно подставить это значение в формулу и рассчитать площадь основания:
$S_{\text{осн}}=\frac{{200}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{40000\cdot \sqrt{3}}{4}=10000\sqrt{3}{\text{см}}^2$.

2. Теперь нам нужно найти высоту призмы. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, примененной к правильному треугольнику, образованному диагональю боковой грани и его проекциями на плоскость основания. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$d^2=a^2+h^2$, где $d$ - диагональ боковой грани, $a$ - сторона основания, $h$ - высота призмы.

Для решения этого уравнения нам также понадобится найти значение диагонали $d$. Поскольку диагональ образует угол 45 градусов с плоскостью основания, мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника, в котором угол между катетами равен 45 градусам. Поэтому диагональ можно выразить через длину стороны основания: $d=a\cdot \sqrt{2}$.

Подставим данное выражение в уравнение теоремы Пифагора:
$(a\cdot \sqrt{2}{)}^2=a^2+h^2$.
$2a^2=a^2+h^2$.
$h^2=a^2$.
$h=a$.

Таким образом, высота призмы равна длине стороны основания: $h=200$ см.

3. Теперь мы можем вычислить объем призмы, подставив значения площади основания и высоты в формулу для объема:
$V=S_{\text{осн}}\cdot h$.
$V=10000\sqrt{3}{\text{см}}^2\cdot 200\text{см}$.
$V=2000000\sqrt{3}{\text{см}}^3$.

Таким образом, объем правильной треугольной призмы с заданными параметрами равен $2000000\sqrt{3}{\text{см}}^3$.