Каков объем правильной треугольной призмы, у которой сторона основания равна 200см, а диагональ боковой грани образует

Чтобы найти объем правильной треугольной призмы с заданными параметрами, нам понадобится использовать формулу для вычисления объема призмы: \(V = S \cdot h\), где \(S\) - площадь основания, \(h\) - высота призмы.

1. Начнем с вычисления площади основания.
Поскольку основание призмы - правильный треугольник, мы можем использовать формулу для площади правильного треугольника: \(S_{\text{осн}} = \frac{{a^2 \cdot \sqrt{3}}}{4}\), где \(a\) - длина стороны основания. В данной задаче задана длина стороны основания равная 200 см, поэтому можно подставить это значение в формулу и рассчитать площадь основания:
\(S_{\text{осн}} = \frac{{200^2 \cdot \sqrt{3}}}{4} = \frac{{40000 \cdot \sqrt{3}}}{4} = 10000\sqrt{3} \, \text{см}^2\).

2. Теперь нам нужно найти высоту призмы. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, примененной к правильному треугольнику, образованному диагональю боковой грани и его проекциями на плоскость основания. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
\(d^2 = a^2 + h^2\), где \(d\) - диагональ боковой грани, \(a\) - сторона основания, \(h\) - высота призмы.

Для решения этого уравнения нам также понадобится найти значение диагонали \(d\). Поскольку диагональ образует угол 45 градусов с плоскостью основания, мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника, в котором угол между катетами равен 45 градусам. Поэтому диагональ можно выразить через длину стороны основания: \(d = a \cdot \sqrt{2}\).

Подставим данное выражение в уравнение теоремы Пифагора:
\((a \cdot \sqrt{2})^2 = a^2 + h^2\).
\(2a^2 = a^2 + h^2\).
\(h^2 = a^2\).
\(h = a\).

Таким образом, высота призмы равна длине стороны основания: \(h = 200\) см.

3. Теперь мы можем вычислить объем призмы, подставив значения площади основания и высоты в формулу для объема:
\(V = S_{\text{осн}} \cdot h\).
\(V = 10000\sqrt{3} \, \text{см}^2 \cdot 200 \, \text{см}\).
\(V = 2000000\sqrt{3} \, \text{см}^3\).

Таким образом, объем правильной треугольной призмы с заданными параметрами равен \(2000000\sqrt{3} \, \text{см}^3\).