Каков объем правильной треугольной пирамиды с высотой 40 см и двугранным углом при основании, равным 30°?

Чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, нам понадобятся два важных параметра: площадь основания и высота пирамиды. Давайте разложим эту задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем площадь основания пирамиды.
Для треугольной пирамиды площадь основания можно найти по формуле \(S = \frac{{a \cdot b \cdot \sin C}}{2}\), где \(a\) и \(b\) - стороны треугольника основания, а \(C\) - угол между этими сторонами.
В данной задаче у нас правильная треугольная пирамида, поэтому все стороны равны между собой. Допустим, одна сторона основания равна \(x\), следовательно, площадь основания будет \(S = \frac{{x \cdot x \cdot \sin 30°}}{2}\).

Шаг 2: Найдем объем пирамиды.
Объем пирамиды можно найти по формуле \(V = \frac{{S \cdot h}}{3}\), где \(S\) - площадь основания пирамиды, а \(h\) - высота пирамиды.
Мы уже нашли площадь основания пирамиды (\(S\)) в Шаге 1, а высота пирамиды (\(h\)) дана в условии задачи.

Шаг 3: Подставим значения и найдем ответ.
Подставив значения площади основания (\(S\)) и высоты (\(h\)) в формулу объема пирамиды (\(V\)), получим:
\[V = \frac{{\frac{{x \cdot x \cdot \sin 30°}}{2} \cdot 40}}{3}\]

Сократим угол в синусе:
\[V = \frac{{\frac{{x \cdot x \cdot 0.5}}{2} \cdot 40}}{3}\]

Упростим выражение:
\[V = \frac{{x \cdot x \cdot 0.5 \cdot 40}}{6}\]

Подставим значение \(x = 40\) (по условию треугольник равносторонний):
\[V = \frac{{40 \cdot 40 \cdot 0.5 \cdot 40}}{6}\]

Выполним простые вычисления:
\[V = 13653.33\]

Ответ: Объем правильной треугольной пирамиды с высотой 40 см и двугранным углом при основании, равным 30°, равен 13653.33 кубическим сантиметрам.