Каков объем правильной треугольной пирамиды, если ее высота равна 40 см, а угол между боковой гранью и плоскостью

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться формулами для объема пирамиды.

Объем правильной треугольной пирамиды можно найти, используя следующую формулу:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h \]

Где \( S_{\text{основания}} \) - площадь основания пирамиды, а \( h \) - высота пирамиды.

Для решения задачи нам необходимо найти площадь основания \( S_{\text{основания}} \). Для этого, можно воспользоваться формулой площади равностороннего треугольника:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{a_{\text{основания}}^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \]

Где \( a_{\text{основания}} \) - длина стороны основания пирамиды.

В нашем случае, у нас правильный треугольник. Зная одну сторону, мы можем найти длину всех сторон, используя свойства правильного треугольника.

Угол между боковой гранью и плоскостью основания составляет 30°. Правильный треугольник имеет углы 60°, 60° и 60°. Таким образом, боковая грань является равносторонним треугольником.

Определяем длину стороны основания:

\[ a_{\text{основания}} = 2 \cdot h \cdot \tan(\alpha) \]

Где \( h \) - высота пирамиды, а \( \alpha \) - угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Итак, давайте подставим данные в формулу для нахождения площади основания:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{(2 \cdot h \cdot \tan(\alpha))^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \]

Теперь, зная площадь основания, мы можем найти объем пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h \]

Подставим все значения и рассчитаем объем пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{(2 \cdot 40 \cdot \tan(30))^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot 40 \]

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{(2 \cdot 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot 40 \]

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{(80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot 40 \]

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{(\frac{80 \cdot \sqrt{3}}{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot 40 \]

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6400 \cdot 3}{9} \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot 40 \]

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{21333.33}{4} \cdot 40 \)

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 5328.33 \cdot 40 \]

\[ V \approx 7091 \, \text{см}^3 \]

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды составляет приблизительно 7091 кубический сантиметр.