Каков объём правильной треугольной пирамиды, если ее высота равна 16 см, а угол при основании составляет 30°?

Чтобы найти объем треугольной пирамиды, нам нужно знать ее высоту и площадь основания. В данной задаче у нас известна высота пирамиды, которая равна 16 см. Однако, нам нужно найти площадь основания пирамиды.

Для этого, давайте вначале найдем сторону основания треугольной пирамиды. Угол при основании равен 30°. Полный угол треугольника равен 180°, поэтому мы можем вычислить сумму двух других углов:

\(180 - 30 = 150\)°

Так как все три угла треугольника равны, мы можем разделить эти 150° на три равные части:

\(150 / 3 = 50\)°

Теперь, у нас есть два угла - 30° и 50°. Для того, чтобы найти третий угол, мы можем вычислить разницу между 180° и суммой двух имеющихся углов:

\(180 - 30 - 50 = 100\)°

Таким образом, у нас есть треугольник с углами 30°, 50° и 100°.

Для решения задачи, теперь нам нужно найти площадь основания треугольной пирамиды. Мы знаем, что площадь треугольника можно найти, используя формулу \(площадь = \frac{1}{2} \times основание \times высота\).

Однако, у нас нет информации об основании треугольника, поэтому нам нужно использовать другую формулу для площади, известную как формула Герона.

Формула Герона гласит:

\(площадь = \sqrt{s \times (s - a) \times (s - b) \times (s - c)}\)

где \(s\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника.

Чтобы найти площадь основания, мы должны вычислить стороны треугольника. Мы знаем, что высота пирамиды является высотой равнобедренного треугольника, и он делит основание на два равных отрезка. Таким образом, мы можем использовать тригонометрию для вычисления длины стороны:

\(\sin(30) = \frac{16}{a}\)

\(\frac{1}{2} = \frac{16}{a}\)

\(a = 32\) см

Теперь мы знаем, что все стороны треугольника равны 32 см.

Давайте подставим значения в формулу Герона:

\(s = \frac{32 + 32 + 32}{2} = 48\) см

\(площадь = \sqrt{48 \times (48 - 32) \times (48 - 32) \times (48 - 32)}\)

\(площадь = \sqrt{48 \times 16 \times 16 \times 16}\)

\(площадь = \sqrt{196608}\)

\(площадь = 444\) см²

Таким образом, площадь основания треугольной пирамиды равна 444 квадратных сантиметра.

Чтобы найти объем пирамиды, мы можем использовать формулу \(объем = \frac{1}{3} \times площадь_{основания} \times высота\):

\(объем = \frac{1}{3} \times 444 \times 16\)

\(объем = 2368\) см³

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды равен 2368 кубических сантиметров.