Каков объем правильной шестиугольной призмы с основанием, имеющим сторону длиной 2 см, и равными боковыми ребрами?

Для решения данной задачи, нам понадобится некоторое знание о формулах для объема геометрических фигур. Давайте проделаем ряд шагов для определения объема правильной шестиугольной призмы.

1. Начнем с вычисления площади основания шестиугольной призмы. Поскольку основание — правильный шестиугольник, его площадь можно найти с помощью специальной формулы. Формула для площади правильного шестиугольника с длиной стороны \(s\) выглядит следующим образом:

\[S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot s^2\]

2. Теперь, когда у нас есть площадь основания, мы можем найти объем призмы. Объем какой-либо призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту. В данном случае, предположим, что высота шестиугольной призмы равна \(h\). Формула для объема призмы выглядит следующим образом:

\[V = S \cdot h\]

3. Остается определить высоту призмы. Поскольку шестиугольная призма является правильной, то все высоты боковых граней должны быть одинаковыми. Давайте обозначим высоту боковой грани как \(h_1\). Заметим, что высота боковой грани бокового равнобедренного треугольника, образованного двумя боковыми ребрами и стороной основания, равна:

\[h_1 = \sqrt{s^2 - \left(\frac{s}{2}\right)^2}\]

Поскольку боковых граней шестиугольной призмы шесть, для общей высоты призмы \(h\) получаем:

\[h = 6h_1\]

4. Теперь, имея все необходимые формулы, мы можем составить окончательное решение. Для начала найдем площадь основания призмы, подставив значение длины стороны \(s = 2 \, \text{см}\) в формулу для площади шестиугольника:

\[S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 2^2 = 6 \sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Затем узнаем высоту треугольной грани \(h_1\):

\[h_1 = \sqrt{2^2 - \left(\frac{2}{2}\right)^2} = \sqrt{3} \, \text{см}\]

И, наконец, найдем общую высоту призмы \(h\):

\[h = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \, \text{см}\]

Теперь, используя формулу для объема призмы, мы можем найти окончательный ответ:

\[V = S \cdot h = 6 \sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3} = 36 \sqrt{3} \, \text{см}^3\]

Итак, объем правильной шестиугольной призмы с основанием длиной 2 см и равными боковыми ребрами равен \(36 \sqrt{3}\) кубических сантиметров.