Каков объем правильной шестиугольной призмы с большой диагональю равной 4√3 см, наклоненной к основанию под углом 30°?

Хорошо, давайте посчитаем объем правильной шестиугольной призмы пошагово.

Шаг 1: Понимание задачи
Мы имеем дело с правильной шестиугольной призмой, у которой большая диагональ равна \(4\sqrt{3}\) см и она наклонена к основанию под углом 30°. Наша задача - найти объем этой призмы.

Шаг 2: Формула для объема призмы
Объем призмы можно рассчитать, умножив площадь основания на высоту призмы. У нас есть правильная шестиугольная призма, поэтому площадь основания можно найти с помощью формулы:

\[Площадь\_основания = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times сторона^2\]

где сторона - длина стороны шестиугольника.

Шаг 3: Нахождение стороны шестиугольника
У нас есть большая диагональ призмы, которая является одной из диагоналей шестиугольника. По определению правильного шестиугольника, все его стороны равны. Мы можем использовать формулу:

\[сторона = \frac{2 \times большая\_диагональ}{\sqrt{3}}\]

Шаг 4: Нахождение площади основания
Теперь, когда у нас есть значение стороны шестиугольника, мы можем вычислить площадь основания с помощью формулы, о которой я говорил ранее.

\[Площадь\_основания = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times сторона^2\]

Шаг 5: Нахождение высоты призмы
Высоту призмы можно вычислить с помощью формулы:

\[высота = сторона \times \sin(\theta)\]

где \(\theta\) - угол наклона призмы к основанию.

Шаг 6: Нахождение объема призмы
Теперь мы знаем площадь основания и высоту призмы, поэтому можем рассчитать объем с помощью формулы:

\[объем = Площадь\_основания \times высота\]

Шаг 7: Решение задачи
Таким образом, давайте приступим к вычислениям согласно шагам, описанным выше.

1. Найдем сторону шестиугольника:
\[сторона = \frac{2 \times 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4\]

2. Найдем площадь основания:
\[Площадь\_основания = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 4^2 = 24\sqrt{3}\]

3. Найдем высоту призмы:
\[высота = 4 \times \sin(30°) = 4 \times \frac{1}{2} = 2\]

4. Найдем объем призмы:
\[объем = Площадь\_основания \times высота = 24\sqrt{3} \times 2 = 48\sqrt{3} \, \text{см}^3\]

Итак, объем этой правильной шестиугольной призмы с большой диагональю равной \(4\sqrt{3}\) см и наклоненной к основанию под углом 30° составляет \(48\sqrt{3}\) кубических сантиметров.