Каков объем правильной шестиугольной призмы, если сторона основания равна 20 см, а высота равна

Для расчета объема правильной шестиугольной призмы, нам понадобится знать формулу для объема призмы. Объем призмы может быть найден, умножив площадь основания на высоту.

Для начала, обратимся к нашей задаче: у нас есть правильная шестиугольная призма, что значит, что ее основание является правильным шестиугольником. Предположим, что высота призмы равна \(h\) см.

Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников. Известно, что сторона основания равна 20 см. В правильном равностороннем треугольнике длина стороны равна \(s\), длина высоты равна \(h_1\) и длина медианы равна \(m\). Мы можем использовать эти значения, чтобы найти высоту призмы.

Длина медианы \(m\) в равностороннем треугольнике можно найти с помощью формулы:

\[m = \frac{{s \sqrt{3}}}{2}\]

Так как мы знаем, что сторона основания равна 20 см, мы можем подставить это значение в формулу и найти длину медианы \(m\):

\[m = \frac{{20 \cdot \sqrt{3}}}{2}\]

Теперь, зная значение медианы, мы можем найти высоту призмы как \(\frac{h_1}{m}\), где \(h_1\) - высота правильного треугольника:

\[h_1 = \frac{{s \sqrt{3}}}{2}\]

Подставляя величину стороны, получаем:

\[h_1 = \frac{{20 \cdot \sqrt{3}}}{2}\]

Таким образом, высота призмы равна \(h = h_1 + h_1\).

Теперь, когда мы знаем высоту призмы, мы можем рассчитать объем. Формула для объема призмы:

\[V = S \cdot h\]

где \(S\) - площадь основания, которая в данной задаче равна площади правильного шестиугольника, вычисляемой по формуле:

\[S = \frac{{3 \sqrt{3} s^2}}{2}\]

Подставляем значения:

\[S = \frac{{3 \cdot \sqrt{3} \cdot 20^2}}{2}\]

Теперь мы можем вычислить объем призмы, подставив значения в формулу:

\[V = S \cdot h\]

\[V = \frac{{3 \cdot \sqrt{3} \cdot 20^2}}{2} \cdot (h_1 + h_1)\]

Подставляем значения и рассчитываем объем призмы.