Каков объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 10корень из 3, а угол между боковой

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, нам понадобятся значения стороны основания (a) и высоты пирамиды (h). В данной задаче сторона основания равна 10корень из 3. Угол между боковой гранью и плоскостью основания составляет 60 градусов.

Для начала, построим пирамиду с указанными значениями:

[диаграмма пирамиды]

В данной пирамиде, треугольник ABC - равносторонний треугольник с стороной a, а треугольник ABD - прямоугольный треугольник, в котором AB равен половине диагонали основания, а BD - высоте пирамиды h. Для удобства, введем еще несколько обозначений:

- \(O\) - центр основания пирамиды
- \(D\) - верхняя точка пирамиды
- \(M\) - середина стороны \(AB\)

Так как треугольник ABC - равносторонний, то у него все углы равны 60 градусов. Из треугольника ABC мы можем получить длины высоты пирамиды h и диагонали основания:

\[h = AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]
\[BD = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}\]

Теперь, чтобы найти высоту пирамиды, обратимся к треугольнику ABD. По теореме Пифагора:

\[AD^2 = AB^2 - BD^2\]
\[h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\]
\[h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}\]
\[h^2 = \frac{3a^2}{4}\]
\[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]

Теперь у нас есть выражение для высоты пирамиды. Для нахождения объема пирамиды необходимо умножить площадь основания на высоту и разделить результат на 3:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h\]

Площадь основания четырехугольной пирамиды можно найти с помощью формулы:

\[S_{\text{основания}} = a^2\]

Теперь, подставим наши значения и найдем объем пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\]
\[V = \frac{a^3\sqrt{3}}{6}\]
\[V = \frac{(10\sqrt{3})^3\sqrt{3}}{6}\]
\[V = \frac{1000\sqrt{3}}{6}\]
\[V = \frac{500\sqrt{3}}{3}\]

Таким образом, объем данной четырехугольной пирамиды равен \(\frac{500\sqrt{3}}{3}\) объемных единиц.