Каков объем правильной четырехугольной пирамиды, если площадь ее боковой поверхности равна 72 см², а площадь основания

Для начала, давайте определимся с терминами и основными свойствами. Правильная четырехугольная пирамида имеет четыре одинаковых равносторонних треугольника вдоль боковой поверхности, основанием которой является квадрат.

Мы знаем, что площадь боковой поверхности равна 72 см², а площадь основания равна 64 см². Давайте начнем с вычисления высоты пирамиды, чтобы затем определить ее объем.

Шаг 1: Найдем длину стороны основания, зная площадь квадрата.

Формула для площади квадрата: S = a^2, где a - длина стороны.
Таким образом, 64 = a^2.
Решим это уравнение для a:
a = √64 = 8 см.

Теперь мы знаем, что сторона основания равна 8 см.

Шаг 2: Найдем высоту пирамиды.

Формула для площади боковой поверхности пирамиды: Sбп = Pl, где P - периметр основания, l - длина высоты, опущенной на боковую поверхность пирамиды.
Так как у нас равносторонний треугольник как основание, периметр равен 4a (где a - длина стороны основания).
Таким образом, P = 4 * 8 = 32 см.

Заметим, что каждая сторона правильного треугольника может служить основанием для правильной пирамиды. То есть, пирамида разделена на 4 правильных треугольника.

Теперь, обратимся к формуле площади боковой поверхности и найдем высоту пирамиды:

72 = 32l
l = 72 / 32 = 2.25 см

Получаем, что длина высоты пирамиды равна 2.25 см.

Шаг 3: Найдем объем пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется с использованием формулы: V = (1/3) * Sосн * h, где Sосн - площадь основания, h - высота пирамиды.
Подставим значения:
V = (1/3) * 64 * 2.25 = 48 см³

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен 48 см³.