Каков объем правильной четырехугольной пирамиды, если боковое ребро равно 10 см и образует угол 60 градусов

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать формулу для объема пирамиды, которая выглядит следующим образом:

\[V = \frac{1}{3}Bh\]

где \(V\) - объем пирамиды, \(B\) - площадь основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

Так как у нас есть заданное боковое ребро, а также угол между боковым ребром и плоскостью основания, мы можем использовать геометрические свойства пирамиды для нахождения площади основания и высоты.

Для начала, давайте найдем высоту пирамиды \(h\). Обратите внимание, что боковое ребро образует угол 60 градусов с плоскостью основания. Это означает, что мы можем рассматривать треугольную пирамиду, образованную боковым ребром и высотой пирамиды. Такая пирамида имеет следующие свойства:

- Основание треугольной пирамиды - правильный треугольник.
- Высота треугольной пирамиды - высота пирамиды \(h\).

Мы можем использовать свойства правильного треугольника, чтобы найти высоту пирамиды:

\[\text{{Высота треугольника}} = \text{{боковое ребро}} \times \sin(60^\circ)\]

Так как у нас задано, что боковое ребро равно 10 см, подставим это значение в формулу:

\[\text{{Высота треугольника}} = 10 \times \sin(60^\circ) = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\ \text{{см}}\]

Теперь, когда у нас есть высота пирамиды \(h\), давайте найдем площадь основания пирамиды \(B\). Мы знаем, что площадь треугольника можно найти по следующей формуле:

\[B = \frac{1}{2} \times \text{{основание треугольника}} \times \text{{высота треугольника}}\]

У нас есть правильный треугольник, поэтому у нас есть равносторонний треугольник с боковой стороной 10 см. Таким образом:

\[\text{{Площадь треугольника}} = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 \times \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3}\ \text{{см}^2}\]

Теперь у нас есть значение площади основания \(B\) и высоты \(h\), и мы можем использовать формулу объема пирамиды, чтобы найти объем \(V\):

\[V = \frac{1}{3} \times 50\sqrt{3} \times 5\sqrt{3} = \frac{250\sqrt{3}}{3}\ \text{{см}^3}\]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды, в которой боковое ребро равно 10 см и образует угол 60 градусов с плоскостью основания, составляет \(\frac{250\sqrt{3}}{3}\) кубических сантиметров.