Каков объем пирамиды, у которой основой является прямоугольный треугольник с катетами длиной 9 см и 40 см, и

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться формулой для объема пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \times S \times H\]

где \(V\) - объем пирамиды, \(S\) - площадь основания, \(H\) - высота пирамиды.

Для начала найдем площадь основания пирамиды. У нас есть прямоугольный треугольник с катетами длиной 9 см и 40 см. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times a \times b\]

где \(a\) и \(b\) - длины катетов.

Подставим известные значения:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times 9 \, \text{см} \times 40 \, \text{см} = 180 \, \text{см}^2\]

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. Мы знаем, что все ее боковые ребра образуют углы 45 градусов с плоскостью основания. Изображая пирамиду на плоскости, мы можем рассмотреть одно из боковых ребер, образующих этот угол, и провести от него перпендикуляр к основанию пирамиды. Этот перпендикуляр будет являться высотой пирамиды.

У нас есть прямоугольный треугольник, в котором один из углов равен 45 градусов. Используя свойство треугольников, мы можем найти высоту этого треугольника. Так как угол в прямоугольном треугольнике может быть только 90 градусов, сумма остальных двух углов должна быть равна 90 градусам. То есть, другой угол этого треугольника также равен 45 градусам.

Проверкой соответствующих сторон и углов мы видим, что этот треугольник является равнобедренным. Значит, его высота будет равна длине одного из катетов, то есть 9 см.

Теперь, когда у нас есть площадь основания (\(S = 180 \, \text{см}^2\)) и высота (\(H = 9 \, \text{см}\)), мы можем найти объем пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \times 180 \, \text{см}^2 \times 9 \, \text{см} = 540 \, \text{см}^3\]

Таким образом, объем пирамиды равен 540 кубическим сантиметрам.