Каков объем пирамиды, у которой основание - треугольник АВС, где АВ = 5 см, ВС = 2√3 м, а угол АВС = 60°?

Чтобы найти объем пирамиды, необходимо знать площадь основания и высоту пирамиды. Давайте разберемся пошагово:

Шаг 1: Найдем площадь основания пирамиды. У нас дан треугольник АВС с известными значениями сторон АВ и ВС, а также углом АВС.

Для начала, найдем высоту треугольника АВС. Высоту треугольника можно найти, умножив одну из сторон на синус угла, противолежащего этой стороне. В нашем случае, высоту будем искать относительно стороны АВ.

Синус угла можно найти, используя тригонометрическое соотношение для прямоугольного треугольника АВС:

\(\sin(\alpha) = \frac{{\text{{противолежащая сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\)

В нашем случае, противолежащая сторона угла АВС - это отрезок ВС, а гипотенуза - это отрезок АВ.

\(\sin(60°) = \frac{{\text{{ВС}}}}{{\text{{АВ}}}}\)

Поскольку мы знаем значение ВС и хотим найти высоту АН, перепишем уравнение:

\(\frac{{\sqrt{3}}}{2} = \frac{{2\sqrt{3}}}{{\text{{АВ}}}}\)

Чтобы найти АВ, разделим оба выражения на \(\frac{{\sqrt{3}}}{2}\):

\(\text{{АВ}} = \frac{{2\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}\)

Упростим это выражение:

\(\text{{АВ}} = 4\)

Теперь, когда у нас есть длина стороны АВ, мы можем найти площадь треугольника АВС, используя формулу для площади равнобедренного треугольника:

\(\text{{Площадь}} = \frac{{\text{{Основание}} \times \text{{Высота}}}}{2}\)

\(\text{{Площадь}} = \frac{{4 \times 2\sqrt{3}}}{2}\)

\(\text{{Площадь}} = 4\sqrt{3}\)

Шаг 2: Теперь найдем высоту пирамиды. Для этого, возьмем любую точку внутри треугольника АВС и проведем перпендикуляр к основанию пирамиды. Пусть эта точка называется М.

Высоту пирамиды можно выразить через длину стороны треугольника АВС и растояние от М до основания пирамиды. В нашем случае, длина стороны АВ равна 4 см (мы уже нашли это значение), и угол между основанием и боковой гранью пирамиды составляет 60°. Заметим, что треугольник АМВ является прямоугольным, поскольку перпендикуляр АМ является высотой.

Хорошо, теперь давайте найдем высоту треугольника АМВ с использованием теоремы Пифагора:

\(АВ^2 = АМ^2 + МВ^2\)

Т.к. сторона АВ равна 4, АМ равно высоте пирамиды, и МВ равно половине основания (в нашем случае, АВ/2 = 2), заменим значения:

\(4^2 = АМ^2 + 2^2\)

\(16 = АМ^2 + 4\)

Вычтем 4 от обеих сторон:

\(АМ^2 = 12\)

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон, чтобы найти АМ:

\(АМ = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)

Таким образом, мы нашли высоту пирамиды. Мы ранее нашли площадь треугольника АВС равной \(4\sqrt{3}\).

Шаг 3: Найдем объем пирамиды, используя формулу:

\(\text{{Объем пирамиды}} = \frac{{\text{{Площадь основания}} \times \text{{Высота}}}}{3}\)

Подставляем значения:

\(\text{{Объем пирамиды}} = \frac{{4\sqrt{3} \times 2\sqrt{3}}}{3}\)

\(\text{{Объем пирамиды}} = \frac{{24\sqrt{3}}}{3}\)

\(\text{{Объем пирамиды}} = 8\sqrt{3}\)

Таким образом, объем пирамиды составляет \(8\sqrt{3}\) кубических сантиметров.