Каков объем пирамиды, если в пирамиде SABC высота SO уменьшается к точке пересечения медиан основания, а треугольник

Чтобы найти объем пирамиды, нам потребуется информация о высоте и основании пирамиды. В данной задаче у нас имеется равнобедренный треугольник ABC, где боковые стороны равны 10 и основание AC = 18.

Первым шагом найдем высоту пирамиды. Известно, что высота SO уменьшается к точке пересечения медиан основания. Поскольку треугольник ABC является равнобедренным, то медиана из вершины треугольника делит боковую сторону пополам. Таким образом, медиана равна половине основания. Медиана имеет длину 9 (половина основания AC), которую мы найдем, разделив значение основания AC на 2.

Теперь нам нужно найти длину высоты SO. Мы знаем, что угол между боковым ребром SB и плоскостью основания составляет 45 градусов. Получается, что треугольник SBO (где О - центр основания ABC) является прямоугольным с прямым углом между SB и BO. Поэтому мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти длину BO.

Зная, что боковые стороны треугольника ABC равны 10, мы можем применить теорему Пифагора для треугольника SBO, где SB - гипотенуза, BO - катет, а SO - высота. Подставим известные значения в формулу и решим уравнение для BO:

\[BO^2 + SO^2 = SB^2\]
\[BO^2 + SO^2 = 10^2\]
\[BO^2 + SO^2 = 100\]

Так как угол между SB и BO равен 45 градусов, то треугольник SBO является прямоугольным и BO = SO. Заменим значения и решим уравнение:

\[BO^2 + BO^2 = 100\]
\[2BO^2 = 100\]
\[BO^2 = 50\]
\[BO = \sqrt{50}\]

Таким образом, длина BO равна \(\sqrt{50}\). Поскольку BO = SO, то высота пирамиды SO также равна \(\sqrt{50}\).

Теперь, когда у нас есть длина высоты и длина медианы, мы можем найти объем пирамиды. Объем пирамиды можно найти, используя следующую формулу:

\[V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times h\]

где \(S_{ABC}\) - площадь основания ABC, а \(h\) - высота пирамиды.

Поскольку треугольник ABC является равнобедренным, площадь основания ABC можно найти, используя следующую формулу для равнобедренного треугольника:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times h_{base}\]

где \(AC\) - основание треугольника ABC, а \(h_{base}\) - высота основания треугольника ABC.

Подставим известные значения в формулу и решим уравнение:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 18 \times 9\]
\[S_{ABC} = 81\]

Теперь, когда у нас есть значение площади основания и высоты, мы можем найти объем пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \times 81 \times \sqrt{50}\]
\[V = 27 \times \sqrt{50}\]

Окончательный ответ: объем пирамиды равен \(27 \times \sqrt{50}\).