Каков объём пирамиды, если её основание - прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, а высота неизвестна?

Хорошо, давайте начнем с решения задачи. В данной задаче, у нас есть прямоугольный треугольник, который является основанием пирамиды. Задача состоит в определении объема пирамиды, если мы знаем длины катетов треугольника, но не знаем высоты пирамиды.

Для начала мы можем использовать формулу для объема пирамиды, которая определяется следующим образом:

\[ V = \frac{1}{3}A \times h \]

где \( V \) - объем пирамиды, \( A \) - площадь основания пирамиды, \( h \) - высота пирамиды.

Для нахождения площади основания, мы можем использовать формулу для площади прямоугольного треугольника, которая определяется следующим образом:

\[ A = \frac{1}{2} \times a \times b \]

где \( A \) - площадь треугольника, \( a \) и \( b \) - длины катетов треугольника.

Таким образом, нам нужно найти высоту пирамиды, чтобы узнать ее объем. Давайте рассмотрим процесс нахождения высоты.

Мы знаем, что треугольник является прямоугольным, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы треугольника.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

где \( c \) - длина гипотенузы треугольника.

В нашем случае:

\[ c^2 = 3^2 + 4^2 \]

\[ c^2 = 9 + 16 \]

\[ c^2 = 25 \]

\[ c = 5 \]

Теперь, когда мы знаем длину гипотенузы треугольника, можно использовать теорему Пифагора снова, чтобы найти высоту пирамиды. Обозначим высоту как \( h \).

Высота пирамиды, также является высотой треугольника, который состоит из высоты пирамиды и линии, проходящей от вершины до центра гипотенузы:

\[ h^2 = c^2 - b^2 \]

\[ h^2 = 5^2 - 4^2 \]

\[ h^2 = 25 - 16 \]

\[ h^2 = 9 \]

\[ h = 3 \]

Таким образом, высота пирамиды составляет 3 см.

Теперь мы можем использовать найденную высоту, чтобы найти объем пирамиды, используя ранее введенную формулу:

\[ V = \frac{1}{3} \times A \times h \]

\[ V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times a \times b \times h \]

\[ V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times 3 \]

\[ V = \frac{1}{3} \times 6 \times 3 \times 3 \]

\[ V = 18 \]

Таким образом, объем пирамиды равен 18 кубическим сантиметрам.