Каков объем мороженого в рожке, исключая верхушку, если длина образующей конуса равна 16 см, а угол вершины осевого

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

У нас есть конус, у которого известны два параметра: длина образующей и угол вершины осевого сечения.

Образующая конуса - это прямая линия, соединяющая вершину конуса с точкой на окружности его основания. В нашем случае, длина образующей равна 16 см.

Угол вершины осевого сечения - это угол, который основание конуса образует с плоскостью, содержащей ось конуса. В нашем случае, этот угол составляет 30°.

Чтобы найти объем мороженого в рожке, исключая верхушку, мы сначала должны найти радиус основания конуса.

Можем воспользоваться формулой для нахождения радиуса основания конуса:

\[ r = l \cdot \sin(\theta) \]

где \( l \) - длина образующей конуса, а \( \theta \) - угол вершины осевого сечения.

Подставим наши значения:

\[ r = 16 \cdot \sin(30°) \]

Приведем угол к радианам: \(30° = \frac{\pi}{6} \) радиан.

\[ r = 16 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \]

Вычислим синус угла \( \frac{\pi}{6} \):

\[ r = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \]

Таким образом, радиус основания конуса равен 8 см.

Теперь, чтобы найти объем мороженого в рожке, исключая верхушку, мы можем использовать формулу для объема конуса:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

где \( r \) - радиус основания конуса, а \( h \) - высота конуса.

Поскольку мы исключаем верхушку рожка, высота конуса будет производной высотой (высотой вершины) и высотой рожка.

Высота вершины можно найти с помощью теоремы Пифагора, зная длину образующей и радиус основания:

\[ h_{\text{вершины}} = \sqrt{l^2 - r^2} \]

Подставим значения:

\[ h_{\text{вершины}} = \sqrt{16^2 - 8^2} = \sqrt{256 - 64} = \sqrt{192} \approx 13.86 \]

Так как угол вершины осевого сечения составляет 30°, то высота рожка будет составлять два раза высоту вершины:

\[ h_{\text{рожка}} = 2 \cdot h_{\text{вершины}} = 2 \cdot 13.86 = 27.72 \]

Теперь мы можем подставить значения радиуса и высоты в формулу для объема конуса:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 27.72 \]

Вычислим значение:

\[ V \approx 738.45 \]

Таким образом, объем мороженого в рожке, исключая верхушку, составляет примерно 738.45 см³.