1. Напишите уравнение окружности с центром в точке М и радиусом r, где М(-3; 2) и r=2. Проходит ли данная окружность

Мы начнем с решения каждой из задач. Если у вас возникнут вопросы или если что-то покажется непонятным, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать.

1. Уравнение окружности можно записать в виде \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), где \((a, b)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус. В данной задаче центр окружности \(M\) имеет координаты \((-3, 2)\), а радиус \(r\) равен 2. Подставим значения в уравнение окружности:
\((x - (-3))^2 + (y - 2)^2 = 2^2\)
\((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4\)

Чтобы проверить, проходит ли данная окружность через точку \(D(-3, 4)\), нужно подставить ее координаты в полученное уравнение и проверить, выполняется ли равенство:
\((-3 + 3)^2 + (4 - 2)^2 = 0 + 4 = 4\)

Таким образом, окружность проходит через точку \(D(-3, 4)\).

2. Уравнение прямой CD можно найти, используя формулу наклона прямой и одну из точек на этой прямой. Наклон \(k\) прямой находится по формуле \(k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\), где \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) - координаты точек C и D соответственно.

Принимая \((x_1, y_1) = (-3, 1)\) и \((x_2, y_2) = (-5, 9)\), находим наклон прямой CD:
\(k = \frac{{9 - 1}}{{-5 - (-3)}} = \frac{{8}}{{-2}} = -4\)

Зная наклон прямой (\(k = -4\)) и одну из точек прямой (C: \((-3, 1)\)), уравнение прямой CD можно записать в виде \(y - y_1 = k(x - x_1)\):
\(y - 1 = -4(x - (-3))\)
\(y - 1 = -4(x + 3)\)

3. Чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнений каждой прямой. В данном случае у нас есть две прямые:

Первая прямая: \(-3x - y + 1 = 0\)
Вторая прямая: \(4x + 3y + 7 = 0\)

Решаем систему уравнений:

\[
\begin{cases}
-3x - y + 1 = 0 \\
4x + 3y + 7 = 0 \\
\end{cases}
\]

Мы можем использовать метод замещения, чтобы решить эту систему. Разрешим первое уравнение относительно \(y\):
\(y = -3x + 1\)

Теперь подставим это значение \(y\) во второе уравнение:
\(4x + 3(-3x + 1) + 7 = 0\)
\(4x - 9x + 3 + 7 = 0\)
\(-5x + 10 = 0\)
\(-5x = -10\)
\(x = 2\)

Теперь, найдя \(x\), мы можем подставить его в первое уравнение, чтобы найти \(y\):
\(-3(2) - y + 1 = 0\)
\(-6 - y + 1 = 0\)
\(-y - 5 = 0\)
\(y = -5\)

Итак, точка пересечения двух прямых имеет координаты (2, -5).

4.а) Чтобы найти координаты точек А и В пересечения прямой с осями координат, подставим \(x = 0\) и найдем \(y\):
Для \(x = 0\), уравнение прямой \(4x + 3y - 24 = 0\) превращается в:
\(3y - 24 = 0\)
\(3y = 24\)
\(y = 8\)

Таким образом, точка пересечения прямой с осью Oy имеет координаты (0, 8).

Для \(y = 0\), уравнение прямой \(4x + 3y - 24 = 0\) превращается в:
\(4x + 3(0) - 24 = 0\)
\(4x - 24 = 0\)
\(4x = 24\)
\(x = 6\)

Таким образом, точка пересечения прямой с осью Ox имеет координаты (6, 0).

4.б) Чтобы найти координаты середины отрезка AB, воспользуемся формулами для нахождения координат средней точки отрезка. Середина отрезка задается координатами \(\left(\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2}\right)\), где \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) - координаты концов отрезка AB.

Используя найденные в предыдущем пункте координаты точек А и В, получаем:
\(\left(\frac{{0 + 6}}{2}, \frac{{8 + 0}}{2}\right)\)
\(\left(\frac{6}{2}, \frac{8}{2}\right)\)
(3, 4)

Таким образом, координаты середины отрезка AB равны (3, 4).

4.в) Длина отрезка AB можно найти с использованием формулы расстояния между двумя точками:
\(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\), где \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) - координаты концов отрезка AB.

Используя координаты точек А (0, 8) и В (6, 0), получаем:
\(d = \sqrt{{(6 - 0)^2 + (0 - 8)^2}}\)
\(d = \sqrt{{36 + 64}}\)
\(d = \sqrt{{100}}\)
\(d = 10\)

Таким образом, длина отрезка AB равна 10.

5.а) Чтобы найти координаты точки О, в которой пересекаются прямые \(y = x + 4\) и \(y = -2x + 1\), решим систему уравнений.

Подставим \(y\) из первого уравнения во второе уравнение:
\(x + 4 = -2x + 1\)
\(3x = -3\)
\(x = -1\)

Подставим найденное значение \(x\) обратно в первое уравнение:
\(y = -1 + 4\)
\(y = 3\)

Таким образом, координаты точки О равны \((-1, 3)\).

5.б) Теперь, чтобы написать уравнение окружности с центром в точке О, используем формулу окружности: \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), где \((a, b)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус.

Центр окружности О имеет координаты \((-1, 3)\), а радиус мы не знаем. Чтобы найти радиус, найдем расстояние между точкой О \((-1, 3)\) и одной из прямых \(y = x + 4\) или \(y = -2x + 1\).

Расстояние \(d\) между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) можно найти по формуле: \(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\).

Выберем прямую \(y = x + 4\) и найдем расстояние от точки О до этой прямой:
\[d = \sqrt{{(-1 - x)^2 + (3 - (x + 4))^2}}\]

Таким образом, радиус окружности будет \(r = d\).

Я покажу, как получить решение для задачи 1, а вы можете задать вопросы по каждой задаче и мы продолжим с ними.